数学 三角関数の合成について

質問

数学 三角関数の合成について

問題は端折りますが、sinθ-cosθをsin合成すると
√2sin(θ+3/4π)になりますよね。しかし答えを見てみると
√2sin(θ-1/4π)になっているんです。
この二つの値は同値なのかしらん、と思い加法定理で確認したところ
√2sin(θ+3/4π)=sinθcos3/4π+cosθsin3/4π =sinθ-1/√2+cosθ1/√2
√2sin(θ-1/4π)=sinθcos-1/4π-cosθsin-1/4π=sinθ1/√2-cosθ-1/√2
となるのでつまり
sinθ-1/√2とsinθ1/√2
cosθ1/√2と-cosθ-1/√2
それぞれがイコールの関係で結ばれるのであれば
√2sin(θ+3/4π)と
√2sin(θ-1/4π)
が同値であるということになりますよね。
しかしよく分かりません。
数式が大変読みにくくなっていますが、どうか教えて頂きたいです。

回答No.7

wakakusa01

なんか、勘違いしてますね。
√2sin(θ+3/4π)=√2(sinθcos3/4π+cosθsin3/4π)
=√2(sinθ-1/√2+cosθ1/√2)
=-sinθ+cosθ
だから、問題の sinθ-cosθとはなりませんね。
確認してみてください。

回答No.6

ziziwa1130

皆さん難しく考え過ぎですね。
まず、誤解されるような表記は駄目です。
×√2sin(θ+3/4π)と√2sin(θ-1/4π)
○√2sin(θ+3π/4)と√2sin(θ-π/4)
この2つの式で違う部分の差を出します。
3π/4-(-π/4)=2π
です。ご存じのように正弦関数の周期は2πですから、√2sin(θ+3π/4)と√2sin(θ-π/4)は同値です。

回答No.5

noname#181872

#1の補足より
>(5)つまり答えは√2sin(θ+5/4π)だ

√2sin(θ+7/4π)の間違いでしょうか？

#3のお礼より、
> という事はsin(5π/4-0)とsin(0+5π/4)を加法定理で確認してみたところ
> 両方ともsin5π/4がでてきました。当たり前なのですが、、

本来はすべてのθでこの2式の値が一致するのを示さなければなりません。
ただ、あるひとつのθでこの2式の値が一致しないとすれば、同値となることはありません。
なので、#3さんははじめの質問文の式に対してθ=0を代入したらどうなのか、と聞いているのです。

で、θ=0で値が一致したからといって、すべてのθでこの2式の値が一致するかは別問題です。
例えば、y=xとy=x^2（xの2乗）はx=0で一致するから同値だ、といったらおかしいことは
明らかですよね。

> sinθ-cosθを合成すると
> √2sin(θ-π/4)の他に少なくともsin(5π/4-θ)、-sin(θ+3π/4)、√2sin(θ+5π/4)
> などがあるんですよね？

√2が抜けていたりとかもあるのですが、少なくとも√2sin(θ+5π/4)はおかしいです。

y=sinθをグラフにすると、周期、振幅が変わらない曲線が描けるのですから、
θ軸方向に2π平行移動すれば重なることは明らかですよね。
またθ軸で線対称となる曲線はy=-sinθやy軸方向で線対称となる曲線y=sin(-θ)も
θ軸方向に平行移動すれば重なるところが出てきます。
ということはy=sinθをy=sin(θ+2π)やy=-sin(θ+π)と書いても間違いではないわけです。
なので、√2sin(θ-π/4)について、他の書き方ができたとしても問題はないですよね。

#1のお礼より
> ということは問題文によって合成の結果を適時選択しなければならないのでしょうか？

同値であればどう書いても問題ないとは思いますが、その表現が美しいかあるいは
その後の計算がしやすいかなどによっても決まるとは思います。
例えばcos π/4を√2/2と書くか、1/√2と書くかについては、問題文に、
”分母を有利化した解答を示すこと”などと書いていなければどちらでもOKですよね。
ただ、sinθをわざわざsin(θ+2π)や-sin(θ+π)と書くのは、そのあと、この書き方の方が
分かりやすくなるというものでもない限り、すっきりしていない、美しくないので
使わない方が良いでしょう。

ちなみにここでは”適時”ではなく”適宜”でしょう。

回答No.4

alice_44

質問は、任意のθで成り立つ式を
見つける話だったのでは？

式の成立しないθが一個あれば
全てのθでは成立していない
ことが直ぐに判るが、
一個のθで成立しただけでは
全てのθで成立するとは
まだ言えない。

実際、No.3 補足の三個の新しい式は、
二個が○で、一個が×。
三個とも、θ=0 のときは成立するけれども。

sin(-θ+(5/4)π) と比べてみると、
間違った理由も見えてくる
のではないだろうか。

回答No.3

alice_44

θ=0 を代入すると、
貴方の計算は違っている
ことが解る。

お礼

ありがとうございます。
すこしばかり興奮しているので文章が乱れていたらすみません。
なるほどそうですよね！！
という事はsin(5π/4-0)とsin(0+5π/4)を加法定理で確認してみたところ
両方ともsin5π/4がでてきました。当たり前なのですが、、
という事は
sinθ-cosθを合成すると
√2sin(θ-1π/4)の他に少なくともsin(5π/4-θ)、-sin(θ+3π/4)、√2sin(θ+5π/4)
などがあるんですよね？
違うんでしょうか？
いや絶対あっている・・・はず
ですよね？

有難う御座いました

回答No.2

spring135

まず

sinθ-cosθ＝√2sin(θ-1/4π)

を正しく導いてください。

次に三角関数の基本公式の一つ

sin(x)=sin(π-x),　　sin(x+2π)=sinx

を使えば

sin(θ-π/4)=sin(5π/4-θ)=-sin(θ+3π/4)

となることが解ります。

お礼

回答本当にありがとうございます。
>>sin(θ-π/4)=sin(5π/4-θ)=-sin(θ+3π/4)

となることが解ります。
とありますが確かにそうですよね。
ということはsin(θ-π/4)=sin(5π/4+θ)になってしまうのはおかしいのか、
計算間違いをしているということなんですかね。
うーんでも間違ってないと思うんですが、、
他にもsin(θ+7π/4)とかもおｋですかね？

もう少しお付き合い頂ければ嬉しいです。

回答No.1

noname#181872

> sinθ-cosθをsin合成すると√2sin(θ+3/4π)になりますよね。

なりませんよ。合成するときの式が間違っていませんか？
つまり公式へのあてはめがおかしいか、θ+αのαを求めるところで
ミスをしているのではないでしょうか。

> sinθ-1/√2とsinθ1/√2
> cosθ1/√2と-cosθ-1/√2

sinθ-1/√2と書かれると、引き算をしているみたいですので、順番を入れ替えますが、
-1/√2sinθと1/√2sinθでは明らかに異なりますよね。つまりこれらは等しくないし
√2sin(θ+3/4π)と√2sin(θ-1/4π)も同値ではありません。
ただ、このような検算で確認することは重要です。

もう一度、冷静になって計算をしなおしてみてはいかがでしょうか。

お礼

早速の回答ありがとうございます。

ようやくsinθ-cosθをsin合成すると√2sin(θ-1/4π)になることは分かりました。
αの求め方が間違っていたようです。
そして新たな疑問が出てきたのですが、
sinθ-cosθをsin合成すると√2sin(θ-1/4π)の他にもいくつかありますよね。
例えば√2sin(θ+5π/4)など、、、というかこれも間違っているのでしょうか？
僕の計算手順をとりあえず見てください。
(1)sinθ-cosθをまず√2(1/√2sinθ-1/√2cosθ)の形にして

(2)√2(1/√2×sinθ-1/√2×cosθ)に見立ててsinの加法定理を使おう

(3)1/√2=cosα、-1/√2=sinαを満たすαを求めるとしよう

(4)αは5π/4だ

(5)つまり答えは√2sin(θ+5/4π)だ

えーとここで何が言いたいかというと、
見立てるときに√2(1/√2×sinθ-1/√2×cosθ)
1/√2=cosα、1/√2=sinαを満たすαを求めれば
(1/√2にマイナスが付いてないところに注目)
√2sin(θ-1/4π)になりますし
さきほど見せた手順通りにやれば
√2sin(θ+5/4π)になるということなんですががが、
ということは問題文によって合成の結果を適時選択しなければならないのでしょうか？
本当に回答ありがたいです。もう少しばかりお付き合い下されば幸いです。

補足

訂正です
>>(5)つまり答えは√2sin(θ+5/4π)だ
ではなく
(5)つまり答えは√2sin(θ+5π/4)だ
です。

>>√2sin(θ+5/4π)になるということなんですががが、
のところも
√2sin(θ+5π/4)になるということなんですががが、です。