数学の同値について

質問

数学の問題でよく、例えば三角関数で、
sinθ＋cosθ＝～の時、sinθcosθの値を求めよ。

とかいう問題ありますよね。
こういう問題を解く時、与えられた式を二乗したりして同値ではない式変形を行いますが、これは「求める値は1個しかない」という暗黙の了解があるからなのでしょうか。

受験数学では三角関係に限らず、「～の値を求めよ。」という時は求める値は1つしかないという前提で解き、方程式や「～の値を全て求めよ。」などという時は同値関係を意識して条件を満たす値を過不足なく求める
という暗黙の了解があるのですか？

回答No.3

bran111

＞sinθ＋cosθ＝～の時、sinθcosθの値を求めよ。

～＝aとして問題を解いてみましょう。

sinθ＋cosθ＝a　　　　　　　　　　　　(1)

両辺2乗して

1+2sinθcosθ＝a^2

ゆえに

sinθcosθ＝(a^2-1)/2　　　　　　　　(2)　　　　　　　

これ自体は正しい。問題は両辺2乗したとき入ってくる

sinθ＋cosθ＝-a (3)

を除外する必要があるということでしょう。それはできているのかという問題になります。

(2)はaでも-aでも成り立つので、このようなsinθcosθを求めるという問題では(3)を除くという話は入ってきません。

では入ってくる場合は何かということですが以下のようにθを求める場合が考えられます。

簡単のためaは1付近の数としましょう。(1)より単振動の合成または加法定理を使って

sin(θ+π/4)=a/√2　　　　　　　　　　　（4）

このグラフを書いて0≦θ<2においてπa=1の解を求めると

θ＝0, π/2となります。

（2）から

sin2θ=0　⇒　2θ＝0,π,2π,3π　⇒　θ＝0,π/2,π,3π/2

となりθ＝0,π/2は含まれるがθ＝π,3π/2という不要な解も含まれています。

これはまさに２乗したことにより入ってきたもので、（1）または（4）のような2乗していない

グラフを用いることにより除外できるわけです。

それはまた（3）の場合、

sin(θ+π/4)=-a/√2＝-1/√2

の解はグラフより

θ＝π, 3π/2となることと完全に対応します。

補足

詳しい解説をありがとうございます。
具体例による解説は理解できたのですが、要するに同値性が必要となる問題と必要とならない問題は、本質的に何が違うのでしょうか？

回答No.2

nakaken88

> こういう問題を解く時、与えられた式を二乗したりして同値ではない式変形を行いますが、これは「求める値は1個しかない」という暗黙の了解があるからなのでしょうか。

いえ、そんな暗黙の了解はありません。答えが1個になることは多いですが、1個ではない問題もたくさんあります。

数学を解く時、使っていいものは与えられた条件のみです。そこから導けること（定理なども含む）は使っても問題ありません。逆に、その結果が得られるときに与えられた条件が満たされるかどうかは、問題で問われていない限り、考慮する必要はありません。なので、同値でない式変形でも問題ありません。

例えば、「sinθ＋cosθ＝～の時、sinθcosθの値を求めよ。」という問題のとき、「sinθ＋cosθ＝～」という式や、その式から導かれることは使っても構いません。「この条件式が成り立っているから、各辺を2乗したものも等しい」という使い方をしても構いません。逆が成り立たなくても問題ありません。

もしこの問題が、「sinθ＋cosθ＝○とsinθcosθ＝△が同値であることを示せ」などとなっていれば、同値関係を意識して式変形をする必要があります。

また、仮に「(sinθcosθ)^2＝1/4の時、sinθcosθの値を求めよ。」という問題があった場合、±1/2と答えないと間違いになります。条件から導かれる結論は、すべて書かないといけません。

回答No.1

itaitatk

そうですね。答えが一つになるように問題を作ります