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数学三角比

数学三角比で質問です。 sinθ+cosθ=1/2の時、sin^3θ+cos^3θの値を求めよ。 上記の計算途中に、 2sinθcosθ+sin^2θ+cos^2θ=1/4 2sinθcosθ=-3/4 になるようですが、 なぜそうなるのかわかりやすく教えて下さい!宜しくお願いします!

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  • suko22
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sinθ+cosθ=1/2・・・※1の両辺を3乗します。 (sinθ+cosθ)^2=1/4 sin^2θ+2sinθcosθ+cos^2θ=1/4 ここでsin^2θ+cos^2θ=1(これは三角比の大切な公式です)より上式は、 1+2sinθcosθ=1/4 2sinθcosθ=-3/4 sinθcosθ=-3/8・・・※2 つぎにsinθ+cosθ=1/2の両辺を3乗します。 (sinθ+cosθ)^3=1/8 sin^3θ+3sin^2θcosθ+3sinθcos^2θ+cos^3θ=1/8((a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3の展開公式を利用) sin^3θ+cos^3θ+3sinθcosθ(sinθ+cosθ)=1/8 この式に※1と※2を代入 sin^3θ+cos^3θ+3*(-3/8)*(1/2)=1/8 sin^3θ+cos^3θ=11/16・・・答え

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(sinθ+cosθ)^2=1/4 sin^2θ+cos^2θ=1 がわかっていれば、代入して移行するだけです。

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