数学三角比

質問

数学三角比で質問です。
sinθ＋cosθ＝1/2の時、sin^3θ＋cos^3θの値を求めよ。
上記の計算途中に、
2sinθcosθ＋sin^2θ＋cos^2θ＝1/4
2sinθcosθ＝－3/4 になるようですが、

なぜそうなるのかわかりやすく教えて下さい！宜しくお願いします！

回答No.2

suko22 · ベストアンサー

sinθ+cosθ=1/2・・・※1の両辺を3乗します。

(sinθ+cosθ)^2=1/4
sin^2θ+2sinθcosθ+cos^2θ=1/4

ここでsin^2θ+cos^2θ=1（これは三角比の大切な公式です）より上式は、
1+2sinθcosθ=1/4
2sinθcosθ=-3/4
sinθcosθ=-3/8・・・※2

つぎにsinθ+cosθ=1/2の両辺を3乗します。
(sinθ+cosθ)^3=1/8
sin^3θ+3sin^2θcosθ+3sinθcos^2θ+cos^3θ=1/8（(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3の展開公式を利用）
sin^3θ+cos^3θ+3sinθcosθ(sinθ+cosθ)=1/8
この式に※1と※2を代入
sin^3θ+cos^3θ+3*(-3/8)*(1/2)=1/8
sin^3θ+cos^3θ=11/16・・・答え

お礼

回答ありがとうございました。

回答No.1

アウストラロ ピテクス（@ngkdddjkk）

(sinθ＋cosθ)^2＝1/4
sin^2θ＋cos^2θ＝1
がわかっていれば、代入して移行するだけです。

お礼

回答ありがとうございました。