三角関数

質問

sin(α＋β)＝sinβ＋3cosβ、0=<α=<πをみたすαが存在するとき
cosβ値の範囲を求めよ。

次のような手順で考えてみましたが、手詰まりになりました。
sin(α＋β)＝sinβ＋3cosβを変形して
sin(α＋β)－sinβ＝3cosβ
加法定理
(1-cosβ)sinα+sinβcosα=3cosβ
合成
√(2-2cosβ)sin(α+ γ)=3cosβ　ただし、tanγ=sinβ/(1-cosβ)
よって、
sin(α+ γ)=3cosβ/√(2-2cosβ)
ここで、αとγの角度の関係から、　　　-｜sinβ/√(2-2cosβ)｜=<sin(α+γ)=<1
だから、-｜sinβ/√(2-2cosβ)｜=<3cosβ/√(2-2cosβ)=<1・・＊
この式で、cosβ=tと置いて、tの値の範囲を求めようかと考えましたが、絶対値が入ったり
不等号の向きの関係等から、挫折しました。
(1)この解法は、筋として良いのか、あまり良くないのか。
(2)良い悪いを別にして、この後の解法はどうすればよいのか。（やる価値がないかもしれない）
以上２点の質問です。よろしくお願いします。

回答No.1

nag0720 · ベストアンサー

筋はあまりよくないのではないですか。
(2)は分かりません。

別の解法は、

sin(α＋β)＝sinβ＋3cosβ
sinαcosβ＋cosαsinβ＝sinβ＋3cosβ
sinα＋cosαtanβ＝tanβ＋3
tanβ＝(sinα－3)/(1－cosα)

あとは、(sinα－3)/(1－cosα)をαで微分して極値を調べれば、
tanβの範囲、およびβの範囲が求まります。

お礼

回答ありがとうございます
別解をみたら、私の解法は筋が悪いというのが一目瞭然
です。納得です。

回答No.2

mister_moonlight

＞(1)この解法は、筋として良いのか、あまり良くないのか。

余りお勧めの解法ではないことは確かだろう。
これでやるなら、出来ない事はないが　-　sin(α+ γ)の値域が出ればいいんだから　-　そんな面倒な計算はしたくない。

tan(α/2)＝tとすると、t≧0　‥‥(1)
cosα＝(1-t＾2)/(1＋t＾2)、sinα＝2t/(1＋t＾2)を条件式に代入して整理する。
但し、簡単のために　sinβ＝a、cosβ＝b とすると、 a＾2＋b＾2＝1　‥‥(2)
条件式は、(2a+3b)t＾2-2bt+3b＝0　‥‥(3)　となる。
(1)　2a+3b＝0の時　b(2t-3)＝0　となる。2t-3＝0は(1)を満たすが、b＝0の時は　a＝b＝0となり(2)に反する。
(2)　2a+3b≠0の時　b/(2a+3b)＝m とすると、(3)はt＾2＝2m(t-3/2)と変形できるから、放物線：y＝t＾2　と直線：y＝2m(t-3/2)　が(1)で交点を持つ条件をグラフから求めると　m≧3、m≦0
(1)　m≦0　の時、b(2a+3b)≦0　これと、(2)をab平面上に図示すると、｜b｜＜2/√13
(2)　m≧3　の時、(3a+4b)*(2a+3b)≦0　これと、(2)をab平面上に図示すると、｜b｜≦3/5

以上から、｜cosβ｜＜2/√13　但し、cosβ≠0

お礼

回答ありがとうございます
与えられた式を三角関数を用いた式に変形することはよくある
パターンですが、その逆ですね。
tan(α/2)＝tとおいたら、cosα＝(1-t＾2)/(1＋t＾2)、sinα＝2t/(1＋t＾2)
として展開していくのは、なかなか気づかない方法です。