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三角関数

よろしくお願いいたします。 0　＜θ＜π/2とする。 sinθ-cosθ=1/2のとき、sin2θ=3/4, さてtanθ=？ という問題です。 解答は、 2sinθcosθ=3/4の両辺をcosθ^2で割って整理すると 2tanθ=1/cosθ^2=1+tanθ^2であるからＸ＝tanθとおくと、 3X^2-8X+3=0よりＸ＝４±√7・・・※ ここで 0　＜θ＜π/2かつsinθ-cosθ=1/2>0よりX-1>0であるから、 Ｘ＝４+√7 ※までは理解できたのですが、そこからしぼりこむところが疑問です。解答はここまでしか書いていないのですが、そんな単純なことなのでしょうか。どうしてX-1>0といえるのでしょうか。 Ｘ＝４-√7はだいたい4　–　2.6くらいでしょうか。sinθ-cosθ=√２sin θ(θ-π/4)=1/2など変形してみたのですが、それ以上前に進めませんでした。勉強不足ですが、どなたかアドバイスをお願いいたします。

  • goodo
  • お礼率84% (1270/1500)

みんなの回答

  • take_5
  • ベストアンサー率30% (149/488)
回答No.5

tanθ＝tとすると、sin2θ＝2t/（1＋t＾2）。 これをsin2θ＝3/4に代入すると、3t＾2-8t＋3＝0. これを解くと、t＝（4±√7）/3になる。 又、0＜θ＜π/2であるから　cosθ＝sinθ－1/2＞0より　π/6＜θ＜π/2. 従って、tanθ＝t＞1/√3であるから、（4＋√7）/3＞1/√3、（4-√7）/3＜1/√3より、t＝tanθ＝（4＋√7）/3。

  • ccyuki
  • ベストアンサー率57% (81/142)
回答No.4

少し直します。 2sinθcosθ=3/4の両辺をcosθ^2で割って整理する 　2tanθ=3/4・1/cos^2θ 　2tanθ=3/4(1+tan^2θ) 　4倍して　8tanθ=3(1+tan^2θ) 　　3tan^2θ-8tanθ+3=0 Ｘ＝tanθとおくと、　3X^2-8X+3=0 　　よって　Ｘ＝(４±√7)/3 ここで　0＜θ＜π/2かつsinθ-cosθ=1/2>0より 　(90°までで　sinθ　の方が　cosθ　より 　　　大きいのは　π/4＜θ＜π/2 　　つまり　45°　より大きい部分だから　45°　のときの 　　tanθ=1　よりも　大きくなるので） 　x>1　　(つまり　x-1>0)　だから　Ｘ＝(４+√7)/3　

  • kevin23
  • ベストアンサー率37% (26/70)
回答No.3

中学校までの参考書などではミスはあまりないのですが、高校くらいの参考書なんかになると時々ミスがあったりします。 今回は3X^2-8X+3=0よりＸ＝４±√7でなくて X＝（４±√7）/3 のようです。これだと (４+√7）/３=2.22 (４-√7）/３=0.45 くらいになります。あとはX-1>0という条件に当てはめればX=(４＋√7）/3という答えになりそうです。

  • i_noji
  • ベストアンサー率23% (12/51)
回答No.2

sinθ-cosθ=1/2 の両辺をcosθで割ってみるとか……

  • gatch_ky
  • ベストアンサー率43% (18/41)
回答No.1

sinθ-cosθ=1/2>0 ということは sinθ > cosθ 単位円を描いてみれば分かると思うけど これを満たすのは π/4 < θ の時なんだ。 つまり傾きが１を超えないとだめってこと。

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