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三角関数
よろしくお願いいたします。 0 ＜θ＜π/2とする。 sinθ-cosθ=1/2のとき、sin2θ=3/4, さてtanθ=？ という問題です。 解答は、 2sinθcosθ=3/4の両辺をcosθ^2で割って整理すると 2tanθ=1/cosθ^2=1+tanθ^2であるからＸ＝tanθとおくと、 3X^2-8X+3=0よりＸ＝４±√7・・・※ ここで 0 ＜θ＜π/2かつsinθ-cosθ=1/2>0よりX-1>0であるから、 Ｘ＝４+√7 ※までは理解できたのですが、そこからしぼりこむところが疑問です。解答はここまでしか書いていないのですが、そんな単純なことなのでしょうか。どうしてX-1>0といえるのでしょうか。 Ｘ＝４-√7はだいたい4 – 2.6くらいでしょうか。sinθ-cosθ=√２sin θ(θ-π/4)=1/2など変形してみたのですが、それ以上前に進めませんでした。勉強不足ですが、どなたかアドバイスをお願いいたします。
- goodo
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tanθ＝tとすると、sin2θ＝2t/（1＋t＾2）。 これをsin2θ＝3/4に代入すると、3t＾2-8t＋3＝0. これを解くと、t＝（4±√7）/3になる。 又、0＜θ＜π/2であるから cosθ＝sinθ－1/2＞0より π/6＜θ＜π/2. 従って、tanθ＝t＞1/√3であるから、（4＋√7）/3＞1/√3、（4-√7）/3＜1/√3より、t＝tanθ＝（4＋√7）/3。
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- 回答No.4
- ccyuki
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少し直します。 2sinθcosθ=3/4の両辺をcosθ^2で割って整理する 2tanθ=3/4・1/cos^2θ 2tanθ=3/4(1+tan^2θ) 4倍して 8tanθ=3(1+tan^2θ) 3tan^2θ-8tanθ+3=0 Ｘ＝tanθとおくと、 3X^2-8X+3=0 よって Ｘ＝(４±√7)/3 ここで 0＜θ＜π/2かつsinθ-cosθ=1/2>0より (90°までで sinθ の方が cosθ より 大きいのは π/4＜θ＜π/2 つまり 45° より大きい部分だから 45° のときの tanθ=1 よりも 大きくなるので） x>1 (つまり x-1>0) だから Ｘ＝(４+√7)/3
- 回答No.3
- kevin23
- ベストアンサー率37% (26/70)
中学校までの参考書などではミスはあまりないのですが、高校くらいの参考書なんかになると時々ミスがあったりします。 今回は3X^2-8X+3=0よりＸ＝４±√7でなくて X＝（４±√7）/3 のようです。これだと (４+√7）/３=2.22 (４-√7）/３=0.45 くらいになります。あとはX-1>0という条件に当てはめればX=(４＋√7）/3という答えになりそうです。
- 回答No.1
- gatch_ky
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sinθ-cosθ=1/2>0 ということは sinθ > cosθ 単位円を描いてみれば分かると思うけど これを満たすのは π/4 < θ の時なんだ。 つまり傾きが１を超えないとだめってこと。
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