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三角関数

よろしくお願いいたします。 0 <θ<π/2とする。 sinθ-cosθ=1/2のとき、sin2θ=3/4, さてtanθ=? という問題です。 解答は、 2sinθcosθ=3/4の両辺をcosθ^2で割って整理すると 2tanθ=1/cosθ^2=1+tanθ^2であるからX=tanθとおくと、 3X^2-8X+3=0よりX=4±√7・・・※ ここで 0 <θ<π/2かつsinθ-cosθ=1/2>0よりX-1>0であるから、 X=4+√7 ※までは理解できたのですが、そこからしぼりこむところが疑問です。解答はここまでしか書いていないのですが、そんな単純なことなのでしょうか。どうしてX-1>0といえるのでしょうか。 X=4-√7はだいたい4 – 2.6くらいでしょうか。sinθ-cosθ=√2sin θ(θ-π/4)=1/2など変形してみたのですが、それ以上前に進めませんでした。勉強不足ですが、どなたかアドバイスをお願いいたします。

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  • 回答No.5
  • take_5
  • ベストアンサー率30% (149/488)

tanθ=tとすると、sin2θ=2t/(1+t^2)。 これをsin2θ=3/4に代入すると、3t^2-8t+3=0. これを解くと、t=(4±√7)/3になる。 又、0<θ<π/2であるから cosθ=sinθ-1/2>0より π/6<θ<π/2. 従って、tanθ=t>1/√3であるから、(4+√7)/3>1/√3、(4-√7)/3<1/√3より、t=tanθ=(4+√7)/3。

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  • 回答No.4
  • ccyuki
  • ベストアンサー率57% (81/142)

少し直します。 2sinθcosθ=3/4の両辺をcosθ^2で割って整理する  2tanθ=3/4・1/cos^2θ  2tanθ=3/4(1+tan^2θ)  4倍して 8tanθ=3(1+tan^2θ)   3tan^2θ-8tanθ+3=0 X=tanθとおくと、 3X^2-8X+3=0   よって X=(4±√7)/3 ここで 0<θ<π/2かつsinθ-cosθ=1/2>0より  (90°までで sinθ の方が cosθ より    大きいのは π/4<θ<π/2   つまり 45° より大きい部分だから 45° のときの   tanθ=1 よりも 大きくなるので)  x>1  (つまり x-1>0) だから X=(4+√7)/3 

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  • 回答No.3
  • kevin23
  • ベストアンサー率37% (26/70)

中学校までの参考書などではミスはあまりないのですが、高校くらいの参考書なんかになると時々ミスがあったりします。 今回は3X^2-8X+3=0よりX=4±√7でなくて X=(4±√7)/3 のようです。これだと (4+√7)/3=2.22 (4-√7)/3=0.45 くらいになります。あとはX-1>0という条件に当てはめればX=(4+√7)/3という答えになりそうです。

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  • 回答No.2
  • i_noji
  • ベストアンサー率23% (12/51)

sinθ-cosθ=1/2 の両辺をcosθで割ってみるとか……

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  • 回答No.1

sinθ-cosθ=1/2>0 ということは sinθ > cosθ 単位円を描いてみれば分かると思うけど これを満たすのは π/4 < θ の時なんだ。 つまり傾きが1を超えないとだめってこと。

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