三角関数を含む等式の証明

質問

三角関数を含む等式の証明でどうしても理解できない問題があります。
黒板の模範解答を見ても納得がいきませんでした。

tan^2θ-sin^2θ＝tan^2θsin^2θ
(証明)
(左辺)＝sin^2θ/cos^2θ-sin^2θ…(1)
＝sin^2θ-sin^2θ・cos^2θ/cos^2θ…(2)
＝(1-cos^2θ)sin^2θ/cos^2θ…(3)
＝sin^2θ・sin^2θ/cos^2θ…(4)
＝tan^2θ・sin^2θ…(5)
＝(右辺)…(6)
　　∴(左辺)＝(右辺)

黒板に書いてあった模範解答に1行ずつ番号をふってみました。
(2)までは理解出来るのですがそれ以降がよくわかりません。

どなたか詳しい解説をお願いします。

回答No.3

cjhmpcf · ベストアンサー

(1)を通分した(sin^2θ-sin^2θ・cos^2θ)/cos^2θを訂正した(2)として始めます。この分子sin^2θ-sin^2θ・cos^2θをsin^2θでくくると，(3)です。sin^2θ＋cos^2θ=1から変形した1-cos^2θ=sin^2θを(3)に代入すると，(4)になります。tanθ=sinθ/cosθの両辺を入れ替え２乗した式sin^2θ/cos^2θ=tan^2θを(4)に代入すると，sin^2θ・tan^2θとなり(5)と等しくなります。(5)は証明する等式の右辺ですから(6)となり左辺から右辺が導かれて等式が証明できます。

お礼

sinθをくくり忘れていました！

とても丁寧なご回答、本当にありがとうございます。

おかげさまで小テストも満点を取ることができました！

回答No.2

atomonados

T=tan^2θ，S=sin^2θ，C=cos^2θとおくと，T=S/C，1-C=S。

(左辺)=T-S…(0)
＝S/C-S…(1)　　　　∵T=S/C
＝(S-SC)/C…(2)　　　∵通分
＝{S(1-C)}/C…(3)　　　∵分子を共通因数でくくる
＝(SS)/C＝S(S/C)…(4)　　∵1-C=S
＝TS…(5)　　　　　　　　∵T=S/C
＝(右辺)…(6)
　　∴(左辺)＝(右辺)

引き算が掛け算に等しくなるとは！　不思議な関係ですね。

お礼

とても参考になりました！
ありがとうございます。

回答No.1

f272

(2)は
＝sin^2θ/cos^2θ-sin^2θ・cos^2θ/cos^2θ
の間違いだろう。

お礼

すいません。
ご指摘ありがとうございます！