２次関数、三角比の問題を教えてください。

質問

わからないことがあります。(^2は二乗)
【１】mx^2＋(１－５m)x＋４m＝0の２つの実数解が１より大であるような定数mの範囲を求めよ。
　という問題で、解答が
まず、実数条件からm≦１/９、１≦m　・・・(1)
次に、実数解をα、βとすると、
　α＞１、β＞１⇔α－１＞０、β－１＞０
　∴(α－１)＋(β－１)＞０、(α－１)(β－１)＞０
解と係数の関係を用いて変形すると
　(α－１)＋(β－１)＝(３m－１)/m＞０(両辺にm^2をかけて計算するんだよ！）∴m＜０、１/３＜m　・・・(2)
　　　　　　　(以下略)
とあるのですが、私はmをかけて計算したので、(2)の部分では１/３＜mしか出ませんでしたが、結局その後の計算でm＜０も出たので答えは合いました。なのでmでも良いのかと思ったのですが、似たような他の問題を解いたら二乗をかけないと答えが間違ってしまう問題がありました。、「両辺にm^2をかけて計算するんだよ！」と書いてある場所にはなぜmではなくてmの二乗をかけないといけないのでしょうか？

【２】(cosθ＋sinθ)/(cosθ－sinθ)＝√２－１のとき、tanθ、cos^2θの値を求めよ。
　という問題で、解答が
与式から
　cosθ＋sinθ＝(√２－１)cosθ－(√２－１)sinθ
　∴√２sinθ＝(√２－２)cosθ
　∴tanθ＝√２(１－√２)/√２＝１－√２
　　　　　　　(以下略)
と書いてあるのですが、√２sinθ＝(√２－２)cosθからどのように計算してtanθ＝√２(１－√２)/√２＝１－√２になるのでしょうか？私はtanθ＝sinθ/cosθを使ってやろうとしたのですが、よくわからなくて答えを見たのですが答えを見てもいまいち理解出来ません。tanθ＝sinθ/cosθを使っているのだと思うのですが、sinθの係数が分母に、cosθの係数が分子になっているのはなぜでしょうか？

どちらか一方でも良いのでどなたかお願いします！

回答No.2

arukamun · ベストアンサー

【１】
ｍは実数であるというだけで、正か負かも解らない数です。
不等号の式の性質から、両辺に負の数を掛けたり割ったりすると不等号の向きが変わります。
ｍ＾２はｍが実数であれば正なので、両辺に掛けても問題ありませんね。

【２】
√２sinθ＝(√２－２)cosθ
両辺をcosθで割ります。
√２sinθ／cosθ＝(√２－２)
両辺を√２で割ります。
sinθ／cosθ＝(√２－２)／√２
ここまで書けば解りますか？

お礼

早速のお答えありがとうございます。
【１】も【２】もすごくわかりやすくて大変助かりました。本当にどうもありがとうございました！

回答No.3

tarame

【１】についてですが
「(３m－１)/m＞０」の両辺をｍ倍するという考えは、
基本的のは間違っていないと思います。
しかし、不等式の両辺を何倍かするときは、その符号に注意しなければなりません。
したがって、ｍ倍するのであれば
ｍ＞０のとき　と　ｍ＜０のとき　に場合分けしなければなりません。
その解答は、次のとおりです。

（ア）ｍ＞０のとき
　ｍ倍すると　３ｍ－１＞０となり　ｍ＞1/3
　ｍ＞０より　ｍ＞1/3
（イ）ｍ＜０のとき
　ｍ倍すると　３ｍ－１＜０となり　ｍ＜1/3
　ｍ＜０より　ｍ＜０
（ア）（イ）より　ｍ＜０，1/3＜ｍ　となります。

それに対して、ｍ^2倍するというのは
ｍ^2＞０となることを利用しています。
ｍ^2 倍すると
ｍ(３ｍ－１)＞０となり、ｍ＜０，1/3＜ｍ
であることが簡単に求められますね。

お礼

早速のお答えありがとうございます！とてもわかりやすくてすんなり理解できました。どうもありがとうございました！

回答No.1

tomato5656

こんにちは。
２番目　sinθの係数が分母に、cosθの係数が分子になっているのはなぜでしょうか？　は、

a sinθ ＝ b cosθ
sinθ / cosθ ＝ b / a ＝ tanθ

だからです。

>　tanθ＝sinθ/cosθを使っているのだと思うのですが

で合ってますよ。

行き詰まったときは、お風呂に入ってるときに考えるといい・・・ってうちの親が言っていました。
いつも考えてると、ふっと答えがわかるときがあるということです。どんなに探しても見つからなかったものが、忘れた頃に出てくるのと同じですね。

お礼

早速のお答えありがとうございます。
＞行き詰まったときは、お風呂に入ってるときに考えるといい
そうかもしれませんね☆お風呂に入ると頭がすっきりしますし(^_^)今度試してみます。どうもありがとうございました！