三角比の問題です、どうしても正解がわかりません。

質問

sin20°cos110° - cos20°sin110° + tan20°tan110° の値を計算せよ。
なんですが、
前半の2項は、加法定理を適用して、-2となったのですが、
後半のtanの計算部分がわかりません。
お分かりになる方、よろしくお願いします。

回答No.3

bran111 · ベストアンサー

sin20°cos110° - cos20°sin110°=sin(20°-110°)=sin(-90°)=-1 (加法定理)

tan20°tan110° =sin20°sin110°/cos20°cos110°

加法定理より

cos(p+q)=cospcosq-sinpsinq

cos(p-q)=cospcosq+sinpsinq

これらの式を足したり引いたりして

cospcosq=[cos(p+q)+cos(p-q)]/2

sinpsinq=[cos(p-q)-cos(p+q)]/2

これは積の公式と呼ばれる。

p=20°, q=110°を代入して

cos20°cos110°=[cos(20°+110°)+cos(20°-110°)]/2=[cos(130°)+cos(-90°)]/2=cos(130°)/2

[cos90°=0]

sin20°sin110°=[cos(20°-110°)-cos(20°+110°)]/2=[cos(-90°)-cos(130°)]/2=-cos(130°)/2

以上から

tan20°tan110° =sin20°sin110°/cos20°cos110°=-cos(130°)/2/cos(130°)/2=-1

したがって

sin20°cos110° - cos20°sin110° + tan20°tan110°＝-1-1＝-2

加法定理は重要な公式です。多くの公式の基本になる、汎用性の高い公式です。いくつも問題を解いて使いこなせるようにしてください。

お礼

回答ありがとうございます。
先ほど、理解できました。
どうもありがとうございました。

補足

私の文中に誤りがありました、-2ではなく-1でした。
謹んで訂正したいます。

回答No.2

atkh404185

加法定理は使えないのでは？

sin(90º+θ)=cosθ, cos(90º+θ)=-sinθ, tan(90º+θ)=-1/tanθ

と、90º+θ の三角比の式(性質)があります。

これを使うと、

110º=90º+20º だから、θが20º になります。

sin20º cos110º - cos20º sin110º +tan20º tan110º

=sin20º(-sin20º) - cos20º cos20º+tan20ºx(-1/tan20º)

=-(sin^2 20º+cos^2 20º)-1

=-1-1

=-2

と、なります。

お礼

回答ありがとうございます。
先ほど、理解できました。
どうもありがとうございました。

補足

私の文中に誤りがありました、-2ではなく-1でした。
謹んで訂正したいます。