関数

質問

高校数学（微分）
一応微分の範囲に載ってはいますが、質問の中心は関数の基本についてです。

（原文そのままです）
関数ｆ（ｘ）は微分可能で、ｆ´（０）＝aとする。任意の実数ｘ、ｙにたいして、等式ｆ（ｘ＋ｙ）＝ｆ（ｘ）＋ｆ（ｙ）が成り立つ。ｆ´（ｘ）を求めよ。
（私の考えと疑問点）
関数ｆ（ｘ）と書いてあるだけで、関数ｙ＝ｆ（ｘ）とは書かれていないので、この問題では、ｘ（独立変数）、y（従属変数）という関係ではなく、(1)ｘ（独立変数）、ｙ（独立変数）という関係である。
(2)ｘ（任意の定数、数学ではabのようにあらわすことが多い）ｙ（任意の定数）
(1)と(2)の捉え方どちらが正しいのでしょうか?
どちらも同じようなものな気もするのですが。
また、最初を関数f（ｙ）最後をｆ´（ｙ）としてやっても結果は同じですよね?

回答No.2

info22_ · ベストアンサー

>(1)と(2)の捉え方どちらが正しいのでしょうか?
ケース・バイ・ケースでしょう。
微分をする場合の変数は独立変数でしょう。
単にf(x+y)やf(y)と書いた場合は、独立変数に任意定数のx+yやyを代入した関数値とも取れる。微分する変数は独立変数で任意定数ではないことは明らか。
導関数f'(x)のxに任意定数yを代入したf'(y)は定数。
関数f(y)を微分したf'(y)は導関数でyは独立変数。
単にf'(y)と書いただけでは判断できない。

>どちらも同じようなものな気もするのですが。

前後関係で判断すればいいでしょう。

>また、最初を関数f（ｙ）最後をｆ´（ｙ）としてやっても結果は同じですよね?

独立変数に何を使おうと自由ですが、出題者の使っている変数に合わせた方が無難でしょう。

f(x+y)=f(x)+f(y)
f(0+0)=f(0)=f(0)+f(0)=2f(0) ∴f(0)=0
f'(x)=lim(h→0) {f(x+h)-f(x)}/h
=lim(h→0){f(x)+f(h)-f(x)}/h
=lim(h→0)f(h)/h
=lim(h→0){f(h)-f(0)+f(0)}/h
=lim(h→0){f(h)-f(0)+0}/h
=lim(h→0){f(h)-f(0)}/h
=f'(0)
=a

回答No.3

178-tall

>関数ｆ（ｘ）と書いてあるだけで、関数ｙ＝ｆ（ｘ）とは書かれていないので、この問題では、ｘ（独立変数）、y（従属変数）という関係ではなく、(1)ｘ（独立変数）、ｙ（独立変数）という関係である。

その通り、ですネ。
「任意の実数」なので、x=y ならば f(x+x) = f(2x) = f(x)+f(x) = 2*f(x) などとハナシを進められます。

>(2)ｘ（任意の定数、数学ではabのようにあらわすことが多い）ｙ（任意の定数）

この問いでは、「任意の定数」と呼ぶ必然性が無さそう。

>また、最初を関数f（ｙ）最後をｆ´（ｙ）としてやっても結果は同じですよね?

結果は同じでしょうけど、f(x) を主題とする問いに f(y) と表記するのは、要らざる反抗ないし無駄な抵抗だと思われるのでは？

回答No.1

shuu_01

Wikipedia の微分法
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%BE%AE%E5%88%86%E6%B3%95

を読んで見ると、

lim[Δx → 0]　｛f (a + Δx) － f（a）｝ / Δx が存在する時、
微分可能と言うのだそうで、

今回

lim[Δx → 0]　｛f (x + Δx) － f（x）｝ / Δx

＝ lim[Δx → 0]　｛f (x) + f(Δx) － f（x）｝ / Δx

＝ lim[Δx → 0]　f(Δx) / Δx

が存在することになります

今回、x の値に関わらず一定の値になり、

f'(0) ＝ a ということは、f'(x) ＝ a

積分して、

f(x) ＝ ax ＋ C

とやっちまいました

独立変数とか従属変数とか難しいこと考えたことありませんが、、、

今回の （１） の x、y は独立変数だと思います

f'(0) ＝ a の a は定数です

関数 f(x) を f(y) として計算しても、同じです