• ベストアンサー
※ ChatGPTを利用し、要約された質問です(原文:ロンスキアンと一次独立性について)

ロンスキアンと一次独立性について

このQ&Aのポイント
  • f(x)=x^3, g(x)=|x^3|という関数の一次独立性をロンスキアンを用いて調べてみました。
  • ロンスキアンW(f,g)=fg'-f'g=0 (-∞,-∞)となり、f,gが一次従属であることを示します。
  • しかしAf+Bg=0となるようなA,BはA=B=0しかありません。つまりf,gは一次独立であることを表しています。

質問者が選んだベストアンサー

  • ベストアンサー
  • alice_44
  • ベストアンサー率44% (2109/4759)
回答No.1

n×n型のロンスキアンが ≠0 であることは、 n連立1階斉次線型微分方程式のn個の階が一次独立であるための条件 であって、それ以外のことは判定できない。 この質問の f, g は、2連立1階斉次線型微分方程式の解にならない (そのような微分方程式が存在しない) ので、 ロンスキアンを用いて独立性を判定することはできない。

deco111
質問者

お礼

なるほど・・・そうでしたか! ありがとうございます!!

全文を見る
すると、全ての回答が全文表示されます。

関連するQ&A

  • 写像の1次独立

    n次元実ベクトル空間RnからRへの3つの線形写像f,g,hが写像として1次独立である、というのは ∀x∈Rn af(x)+bg(x)+ch(x)=0 ⇔ a=b=c=0 が成立するということでしょうか? Rnの表記が変なことになってしまって見づらいですが、教えてください、お願いいたします。 ------------- 式が2通りに解釈できる気がするので蛇足ながら… 「全てのxについて、『af(x)+bg(x)+ch(x)=0 ⇔ a=b=c=0』」ではなくて、「af(x)+bg(x)+ch(x)=0が、全てのxについて成り立つ、ためには、a=b=c=0でなければならない」というのが写像としての1次独立の定義かな? ということを悩んでいます。

  • 関数

    高校数学(微分) 一応微分の範囲に載ってはいますが、質問の中心は関数の基本についてです。 (原文そのままです) 関数f(x)は微分可能で、f´(0)=aとする。任意の実数x、yにたいして、等式f(x+y)=f(x)+f(y)が成り立つ。f´(x)を求めよ。 (私の考えと疑問点) 関数f(x)と書いてあるだけで、関数y=f(x)とは書かれていないので、この問題では、x(独立変数)、y(従属変数)という関係ではなく、(1)x(独立変数)、y(独立変数)という関係である。 (2)x(任意の定数、数学ではabのようにあらわすことが多い)y(任意の定数) (1)と(2)の捉え方どちらが正しいのでしょうか? どちらも同じようなものな気もするのですが。 また、最初を関数f(y)最後をf´(y)としてやっても結果は同じですよね?

  • 経済数学の問題で

    次の定理について証明したいのですがまるでわかりません・・・。 回答お願いいたします。 定理 関数f(x)、g(x)が区間Iで微分可能ならば、1次結合af(x)+bg(x)(a,bは実数)と積f(x)g(x)も区間Iで微分可能で、 (1){af(x)+bg(x)}'=af '(x)+bg '(x) (2){f(x)g(x)}'=f '(x)g(x)+f(x)+g '(x) が成り立つ。 こちらもよかったら教えていただきたいです。 次の結果を微分の性質から導きなさい。 結果 ある企業の生産量をx(>0)、総生産費用をC(x)とし、その平均総費用をAC(x)=C(x)/x、限界費用をMC(x)=C'(x)とするとき、 「MC(x)>AC(x)ならばAC'(x)>0」 どうかよろしくお願いいたします。

  • 定義から導関数を求める

    定義1 I=(a,b) a<b f;I→R(実数),x0∈I に対してfはx0で微分可能 ⇔ ∃α∈R(実数):f(x)=f(x0)+α(x-x0)+o(x-x0) (x→x0) 定義2 fはI上で微分可能 ⇔ f'はIの任意の点で微分可能。このときf';I∈x0→f'(x)∈R(実数)なる函数が定まる。これを導関数と言う。 微分の定義に基づいて、次の導関数を求めよ。 f(x)=exp(ax) (a∈R\{0}) o(g(x))=f(x)⇔lim[x→x0]f(x)/g(x)を用いるのでしょうか?どんな風に解答すればいいのか分かりません。よろしくお願いします。

  • h(x)=af(x)+bg(x) 同じ周期p

    f(x)とg(x)が周期pを持っていると、h(x)=af(x)+bg(x) (a, bは定数) も周期pを持つことを示せ。 この正しい答えを教えて下さい。 自分の解答は 問題文に従い、これらの関数は周期pを持つので h(x+p)=af(x+p)+bg(x+p) 周期的であることの定義 f(x+p)=f(x) により、 h(x)=af(x)+bg(x) …これで証明できていない場合は答えをそのまま教えて下さい。お願いします。

  • 大学受験の問題 微積の分野

    〔問題〕 微分可能な関数f(x),g(x)が次の4条件を満たしている。 (a)任意の正の実数xについてf(x)>0,g(x)>0 (b)任意の実数xについてf(-x)=f(x),g(-x)=-g(x) (c)任意の実数x,yについてf(x+y)=f(x)f(y)+g(x)g(y) (d)lim(x→0)g(x)/x=2 このとき以下の各問いに答えよ。 (1)f(0)およびg(0)を求めよ。 そこで、私は(b)よりg(0)=0を求めました。それは問題なく、 次に(c)でx=y=0とし、f(0){f(0)-1}=0を得て、 f(0)=0,1としました。 ところが、f(0)=0は間違いで、f(0)=1のみが解になっています。 解説を読んでもわかりません。 私の間違っているところ、どういう考えによってそのような答えになるのか教えてください。

  • 数学の問題の解き方を教えてください

    微分可能な関数f(x)が、任意の実数a、bに対して f(a+b)=f(a)+f(b)+3abf(a+b-2)+1 を満たし、x=0におけるf(x)の微分関数が2である時f(0)の値と、f(x)の導関数を求めよ。 の解き方を教えてください。 途中式もお願いします

  • 逆像法逆手流、独立変数従属変数

     逆像法について調べています。高3です。  【y=x-2(-1≦x≦2)のとき、逆像法でyの値域を求めよ】という問題があったとします。 逆像法においてxが従属変数であり、独立変数であるyを独立変数kとすると((i)独立している定数とでもいうべきでしょうか、ここも教えてください)k=x-2(k:独立,x:従属)となります。 独立変数kが元となって従属変数xが決まるということになると思いますが、求値対象であるk(y)を求めるにはxの条件-1≦x≦2を使ってxを元としてkを出していくような気がします。(ii)この時、x:独立,k:従属になっていると思うのですが逆像で亡くなってしまっているのでしょうか?どこが間違っているのでしょうか?  他にも、【実数x,yがx^2+y^2=1を満たす時、x+yの取りうる値の範囲を求めよ】という問いでは、逆像法において、x+y:独立、x,y:従属だと思います。ここにおいて、x+y=kとして、従属変数をおくと、y=k-x→x^2+(k-x)^2=1→2x^2-2kx+k^2-1=0(ここまではk:独立,x:従属),xは実数、となりますが、この後、x実数という条件を入れてkを求める時にここでもx:独立,k:従属と逆転しているように思えます。(iii)これでは逆像法でないような気がします。それはなぜなのでしょうか?どこが勘違いしている場所なのでしょうか?  (iv)また少し関係ないのですが順像法ではxが独立変数、逆像法ではyが独立変数と決まっているのでしょうか?決まっているのかわかりませんが決まっていないのだとしたらそれは高校数学だけなんでしょうか?  (v)何をもって独立変数、従属変数なのか、順像法と逆像法の定義は何かも曖昧なところがあり、教えていただきたいです。 以上(i)~(v)の5点、お教えいただけると助かります。どうぞお手数をおかけしますがよろしくお願いいたします。

  • ロンスキアン利用による1次独立性(線形代数学)

    f1(x)=(e^x)(cosx) f2(x)=(e^x)(sinx) f1,f2は1次独立であるかどうか? ロンスキアン利用で解く方法があると思いますが、詳しく解き方を教えてください。

  • 微分方程式の解き方

    自分の趣味で、{f(x)}^2-f'(x)=0 という微分方程式が解けるかどうかやってみました。 解答 (1) f(x)=0は、与えられた微分方程式を満たす。 (2) f(x)=a (aは0以外の任意の実数の定数)は与えられた微分方程式を満たさないのでf(x)≠0、f'(x)≠0とする。 {1/f(x)}^2=1/f'(x)…(A) {1/f(x)}'=-f'(x)/{f(x)}^2 より {-1/f(x)}'=1とすると、{-1/f(x)}'=f'(x)/{f(x)}^2 f'(x)/{f(x)}^2=1 1/{f(x)}^2=1/f'(x) よって(A)と同じ式になる。 なので{-1/f(x)}'=1の両辺を積分して -1/f(x)=x+C (Cは任意定数) f(x)=-1/(x+C) となる。 (1),(2)より、一般解はf(x)=-1/(x+C)、特殊解はf(x)=0である。 これでOKでしょうか? この解き方が正しいか教えていただきたいですm(__)m