コーシーの平均値の定理の証明（高校数学）

質問

２つの関数ｆ（ｘ）ｇ（ｘ）が［a,b］で連続、（a,b)において微分可能であるとする。
ｇ(a)≠g(b)かつ（a,b)でｇ´（ｘ）≠０のとき、

a<c<bかつ
｛ｆ（ｂ）－f(a)｝／｛ｇ（ｂ）－ｇ（a)｝=f´（ｃ）／ｇ´（ｃ）
を満たす実数ｃがそんざいする。
証明についてその最初に
ｋ＝｛ｆ（ｂ）－f(a)｝／｛ｇ（ｂ）－ｇ（a)｝とする
Ｆ（ｘ）＝ｆ（ｂ）－ｆ（ｘ）－ｋ｛ｇ（ｂ）－ｇ（ｘ）｝とする関数Ｆ（ｘ）を考えるとあるのですが、
どのようにかんがえて関数Ｆ（ｘ)というものを発想したのでしょうか?
理論的背景など教えてください

回答No.1

stomachman · ベストアンサー

問題は、移項すると「
　　 f'(c) =( (f(b)-f(a)) / (g(b) - g(a)) ) g'(c)
になるようなcはあるか？」という問いであり、もしそんなcがあるのなら、
　　f'(c) - k g'(c) = 0
を満たす。なので、
　　f'(x) - k g'(x) = 0
という方程式を考えて、もし「その解cが aとbの間に必ずある」と言えれば、証明できたことになる訳です。なお、
　　f'(c)/(k g'(c)) = 1
とやったのでは、f'(c)=0の場合に具合が悪くなります。

　先の同じ問題についてのご質問において、その回答No.1では、話を(0,0)と(0,1)をつなぐ曲線（イメージしやすい）に帰着するために、r(x)はxの変域が[0,1]になるように定義しています。ご質問のF(x)の場合にも、これを両端2点をつなぐ曲線(x, F(x))と見たとき、それがどことどこを繋ぐ曲線なのか、を考えてみて下さい。