コーシーの平均値の定理の問題です。

質問

f(x),g(x)は[a,b]で連続かつ(a,b)上微分可能とする。さらに、g(x)が狭義単調増加関数であるとき、コーシーの平均値の定理、すなわち
f(b)-f(a)/g(b)-g(a)=f'(c)/g'(c) c∈(a,b)
となるcがあることをつぎのように証明せよ。
閉区間[g(a),g(b)]で定義される関数h(x)=f(g^-1(x))に平均値の定理を適用するです。

わかるかたがおられたら是非とも教えてください。よろしくお願いします。

回答No.2

alice_44 · ベストアンサー

そのやり方は、g が問題の区間で狭義単調である
場合にしか使えませんが、
コーシー型の平均値定理は、もう少し広い範囲の
f, g ついて成り立ちます。

F(x) = (f(x)-f(a)) - (g(x)-g(a))(f(b)-f(a))/(g(b)-g(a))
と置いて、
F に通常型の平均値定理を使いましょう。

回答No.3

alice_44

訂正 :
F(x) = ( f(x) - f(a) )( g(b) - g(a) ) - ( f(b) - f(a) )( g(x) - g(a) )
のほうが良かった。

回答No.1

koko_u_u

まずは h(x) が平均値の定理の前提を満たしていることを示して補足にどうぞ。