ベストアンサー

平均値の定理について

2015/06/29 22:00

次の関数を指定された区間でかんがえて、平均値の定理の点cを求めてください。 f(x)=logx [1,e ] よろしくお願いいたします。

noname#226952

数学・算数
回答数1
ありがとう数2

みんなの回答 （1）
専門家の回答

質問者が選んだベストアンサー

ベストアンサー

sunflower-san
ベストアンサー率72% (79/109)

2015/06/30 01:19 回答No.1

log(1)=0, log(e)=1 ですから (1, 0) と (e, 1) を結ぶ直線の傾きは1/(e -1)となりますね。 f'(x) = 1/x なので、f'(c) = 1/(e-1) となる 1≦c≦e はただ一つ、c = e -1 です。

質問者

お礼 2015/07/25 18:03

回答ありがとうございました。分かりやすく助かりました。

関連するQ&A

平均値の定理

次の関数に、示された区間において平均値の定理を適用するとき、cの値を求めよ。 (1)y=x^2 -1 [-1,2] (2)y=sinx [0,π] (3)y=√x [1,9] (4)y=logx [1,2] 定理をどのように利用して考えればいいのかわかりません。定理より[a,b]としたらそのまま当てはめるだけでいいんですか？途中式などあれば詳しく教えてください。
平均値の定理

ｆ（ｘ）＝２√ｘと区間[１，４］について平均値の定理をみたすｃの値を求めよ。（解答）ｆ（ｘ）は（１，４）で微分可能で、、、（疑問） (1)どうやって微分可能なことを調べたのでしょうか? (2)この解答では（１，４）で微分可能なことしかふれておりません。確かに（１，４）で微分可能ならば、（１，４）では連続ですが、平均値の定理を使うには、区間［１，４］において連続であることを言わなければならないと思うのですが、なぜ触れていないのでしょうか?
【数学】平均値の定理の応用について

平均値の定理の応用で関数f(x),g(x)が区間Dで微分可能で常にf'(x)=g'(x)ならば、Cをある定数として次のように表される g(x)=f(x)+C と習ったのですが、具体的にはどういうことなのでしょうか？よろしくお願いします。
コーシーの平均値の定理の問題です。

f(x),g(x)は[a,b]で連続かつ(a,b)上微分可能とする。さらに、g(x)が狭義単調増加関数であるとき、コーシーの平均値の定理、すなわち f(b)-f(a)/g(b)-g(a)=f'(c)/g'(c) c∈(a,b) となるcがあることをつぎのように証明せよ。閉区間[g(a),g(b)]で定義される関数h(x)=f(g^-1(x))に平均値の定理を適用するです。わかるかたがおられたら是非とも教えてください。よろしくお願いします。
平均値の定理のcをbの関数と考えると・・・

平均値の定理： a < b とし、f(x) を閉区間 [a, b] で連続で、開区間 (a, b) で微分可能な関数とする。このとき開区間 (a, b) 上に、ある点 c が存在して {f(b)-f(a)}/{b-a}=f '(c) が成り立つ。これから述べる質問のために、少し設定や記号を変更します。関数f(x)は[0,∞)で連続で、(0,∞)で微分可能。また簡単のために、f(0)=0 と設定します。ここで、微分可能関数f(x)において、区間[0,x]（ただしx>0）を考えると、 {f(x)-f(0)}/{x-0}=f '(c) つまり、 f(x)/x=f '(c) となるcが 0<c<x の範囲に存在します。 cは一意的に取れるとは限りませんが、とりあえず一つのcを取ります。ここで、xに対して、cが取れると考えて、c(x)と書きます。 xを動かすと、c(x)は連続関数となるようにできるのでしょうか？
平均値の定理を使った問題なんですが

「(-∞,∞)でf'(x)=0なら、この区間でf(x)は定数である」を平均値の定理を使って解きたいのですが、どのように定理を用いればいいのかよくわかりません。どなたか教えてくれないでしょうか？
コーシーの平均値の定理

[定理] ｆ(ｘ),ｇ(ｘ)閉区間[ａ,ｂ]で連続、開区間(ａ,ｂ)で微分可能、かつ(ａ,ｂ)でｇ'(ｘ)≠０とすれば、　{ｆ(ｂ)－ｆ(ａ)}/{ｇ(ｂ)－ｇ(ａ)}＝ｆ'(ｃ)/ｇ'(ｃ)　　(ａ＜ｃ＜ｂ) となるｃが存在する。＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ (問)この定理は平均値の定理の拡張とみなせるみたいですが、なんとなくそういう雰囲気は感じても、納得できません。どのように求めればいいのでしょうか？ (問)また、平均値の定理から　　{ｆ(ｂ)－ｆ(ａ)}/(ｂ－ａ)＝ｆ'(ｃ) 　{ｇ(ｂ)－ｇ(ａ)}/(ｂ－ａ)＝ｇ'(ｃ)　　(ａ＜ｃ＜ｂ) これらを辺々割れば、上の定理が得られる。という簡単な証明をしてみたんですが、これでは不正解らしいです。どこが悪いのでしょうか？
平均値の定理を使うときに，最初に２つの宣言があります。

平均値の定理を使うときに，最初に２つの宣言があります。 y=f(x)は区間［a,b]で連続で，区間(a,b)で微分可能であるとき，平均値の定理より・・・となるわけですが，(1)y=f(x)は区間［a,b]で連続　(2)区間(a,b)で微分可能である　ということですが，この２つは何が根拠なのですか？こういうことであってますかね？ y=f(x)が，例えば，２次関数（放物線）であった場合， (1)すでにこのグラフの形を学んで知ってるので，そのグラフの形状を根拠に区間[a,b]で連続という。 (2)f(x)の導関数f'(x)があることを，すでに学んで知っている。また，f(x)が区間[a,b]で連続でなめらかであるから，f'(x)も区間(a,b)で全域で存在する。開区間になるのは，左微分係数＝右微分係数＝f'(a)が出来ないから，開区間になる。ということでいいのでしょうか？
平均値の定理　区分求積法

平均値の定理区分求積法あるサイトで見てそのまま写したのですが、平均値の定理が関数f(x)が閉区間[a,b]で連続で開区間(a,b)で微分可能の時、 f(b)-f(a) / b-a =f'(c) (a<c<b) をみたすcが少なくとも1つは存在する。ということは、このckの範囲内にckが1つとは限らないということですよね。そうすると、ckの幅はバラバラになり、区分求積法ができなくなることはありませんか。
平均値の定理の細かい疑問

f(x)=2√xと区間[1,4]について,平均値の条件を満たすcの値を求めよ。解 f(x)は区間(1,4)で微分可能でf`(x)=1/√x・・・・・・・・以下省略教えてほしいところ解説には上のように書いてあったんですが、f(x)は区間(1,4)で微分可能という記述が変な気がします。平均値の条件は[a,b]で連続で(a,b)で微分可能ですよね？？上の記述では(a,b)で連続で(a,b)で微分可能という意味しかもちません。これでは平均値の定理の条件が不十分なので問題があるんでは？？
平均値の定理と導関数

y=[{1-(x)^(1/4)}{1+(x)^(1/4)}]^(1/2)の導関数を求めよという問題があります。両辺の対数をとり logy=1/2log(1-x^(1/4))-1/2log(1+x^(1/4)) 両辺を微分し (1/y)dy/dx=-1/(8x^(3/4)(1-x^(1/4)-1/(8x^(3/4)(1+x^(1/4)=-1/{4x^(3/4)(1-x^(1/2))} となり答えは [-1/{4x^(3/4)(1-x^(1/2))}][{1-(x)^(1/4)}{1+(x)^(1/4)}]^(1/2) となったのですがあっていますか？かなり見づらくてすみません。もう一つは a>0のとき loge(a)+1/(a+1)<loge(a+1)<logea+1/aの証明。 a<c<a+hでf(a+h)-f(a)=hf'(c)を満たすcが存在する。 h=1,f(x)=logxで平均値の定理を使うというのは教科書を見てわかるのですがいざしようとすると解けないのです。よろしくお願いします。
陰関数の定理がわかりません

陰関数の定理について、証明はまだ習わないで、定理だけいきなり出てきたのですが、読んだだけではいまいち意味がつかめませんでした。この定理が何をいおうとしているかわかり易く説明していただけないでしょうか？ (漠然とした質問で申し訳ありません） _______________＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿　陰関数の定理： f(x, y) をR2 におけるC1 級関数とし，点(a, b) において f(a, b) = 0; fy(a, b) ≠ 0とする．このときa を含むある小さな開区間I をとれば I の上で定義されたC1 級関数 y = φ(x) で次の条件を満たすものがただ１つ存在する: b = φ(a), f(x,　φ(x)) = 0 (x は閉区間I内), さらに φ’(x) = -｛fx(x,　φ(x))｝/｛fy(x,　φ(x)｝が成立する． _____________＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
平均値の定理について

平均値の定理について（θを用いた定理）平均値の定理においてa<c<bであるから、b-a=h,｛（c-a）/（b-a）｝=θとおくと、h>0,0<θ<1で、b=a+h,c=a+θhとなるから、｛（f(b)-f(a)）/（b-a）｝=f'(c)は｛（f(a+h)-f(a)）/h｝=f'(a+θh)と書きかえられる。とありますが、なぜ θとおくのですか？θというからには角度のことだと思うのですがa,c,bはX軸上の点で、｛（c-a）/（b-a）｝=θでは角度を持たないですがどういうことなのでしょうか？
この定理がわかると何が良いのでしょうか？

書き方が変なところがあるかも知れませんが、ご了承ください。以下の定理がわかると、なにが良いのか、どのような事に役立つのか、何につながるのかというのがわかりません。よろしければ教えていただきたく思います。本に書いてあるまま書き出します。＜リースの積分表示定理＞Ｅ:ノルム空間Ｃ：区間[0,1]で定義された全ての連続関数の作る集合とした時、Ｃの線形汎関数ｆに対して有界変動関数φが存在し、ｆ(x)＝∫x(t)dφ(t) (範囲は０～１) で与えられる。その時、fのノルムはφの全変動に等しい。
平均値の定理

関数f(x)は第二次導関数f"(x)を持ち、全てのxに対してf"(x)≧0を満たす。aを実数とするとき、全てのxに対してf(x)≧f'(a)x＋f(a)－f'(a)aが成り立つことを示せ。多分平均値の定理を用いると思うのですが、f"(x)≧0の利用の仕方が分かりません。解答には証明方法のみだったので、できれば解説して頂けると助かります。
平均値の定理の変形のθの意味

（平均値の定理）：関数ｆ（ｘ）が閉区間［a,b］において連続、(a,b)において微分可能ならば、 a<c<bにおいて、｛ｆ（ｂ）－ｆ（a）｝／ｂ－a＝f´（ｃ）を満たすｃが存在する。（その変形）ｂ＝a+h、θ＝（ｃ－a）／(ｂ－a)とすると、０＜θ＜１において、ｆ（a+h)=f(a)+hf´(a＋θｈ）を満たすθが存在する。 θと言う角度の記号を使っているのはなぜですか?
中間値の定理

中間値の定理、、、３次方程式x^3-x^2-2x+1＝0は区間(-2.1)に少なくとも１つの実数解をもつことを証明せよ f(x)＝x^3-x^2-2x+1とする f(-2)＝（-2)^3-(-2)^2-2×-2+1＝-7 f(1)＝-1-1+2+1 f(-2)とf(1)は互いに異符号であるよって中間値の定理によりｆ（x）＝0を満たすxが少なくとも1つ存在する中間値の定理って１関数f(x)が閉区間[a,b]で連続で、f(a)≠f(b)の時f(a)とf(b)の間にある任意のkに対してf(c)=kを満たす点cが少なくとも一つ存在する。２特にf(x)が閉区間[a,b]で連続で、f(a)とf(b)が異符号の時f(x)＝0を満たすx即ち方程式f(x)＝の解が少なくとも一つ存在する。これって何で中間値の定理の２番使って証明してますが何で２番使うんですか？だって互いに異符号なのを最初に示してる時点で２を使ってますよね２は中間値の定理ですよねあとこれがどうなったら、公式1にすればいいんですか？
平均値の定理の証明

ロルの定理を用いて平均値の定理を証明する問題で f(x)の曲線から点ａ～ｂを結ぶ割線y=m(x-a)+f(a)を引くとなぜ点ａとｂが同じ高さになった曲線g(x)が求まるのか理解ができません。
平均値の定理の問題の解き方

以下の問題の解き方がわからず、困っています。解くにはとけたのですが、あっているかどうかわかりません。わかる方、ご指南よろしくお願いします。【問題】次の関数に対して、「平均値の定理（３）」において、a=0としたときのθを求めよ。即ち、定数またはhの関数として表せ。但し、h≠0は、0に十分近い数とする。 ※「平均値の定理（３）」　f(a+h)=f(a)+hf'(a+θh), 0<θ<1 x^2 + 1 【解答】まず、f(a+h)を求める。 f(x)=x^2+1なので、 f(a+h) = (a+h)^2+1 = a^2+2ah+1+1 = a^2+2ah+2...(1) 次に、f(x)=x^2+1なので、f(a)を求める。 f(a)=a^2+1...(2) 最後に、f'(a+θh)を求める。 hf'(x)=2xより、hf'(a+θh)=2h(a+θh)...(3) (1)(2)(3)を、f(a+h)=f(a)+hf'(a+θh)に代入して a^2+2ah+2=a^2+1+2h(a+θh) 両辺を整理して a^2-a^2+2-1=2h(a+θh)-2ah 1=2ah+h^2θ-2ah h^2θ=1 よって、h^2θ=1が答え。
中間値の定理の応用

中間値の定理からつぎのことはいえますでしょうか？「関数f(x)が区間[a,b]で連続で、ｆ（a）≠ｆ（ｂ）、ｆ（ｘ）が単調増加または単調減少ならば、 a＜ｘ＜ｂでｆ（ｘ）＝ｃを満たすｃがただ１つ存在する。」高校数学の範囲でお願いします。

平均値の定理について

質問者が選んだベストアンサー

お礼 2015/07/25 18:03

関連するQ&A

平均値の定理

平均値の定理

【数学】平均値の定理の応用について

コーシーの平均値の定理の問題です。

平均値の定理のcをbの関数と考えると・・・

平均値の定理を使った問題なんですが

コーシーの平均値の定理

平均値の定理を使うときに，最初に２つの宣言があります。

平均値の定理　区分求積法

平均値の定理の細かい疑問

平均値の定理と導関数

陰関数の定理がわかりません

平均値の定理について

この定理がわかると何が良いのでしょうか？

平均値の定理

平均値の定理の変形のθの意味

中間値の定理

平均値の定理の証明

平均値の定理の問題の解き方

中間値の定理の応用

注目のQ&A

カテゴリ
一覧

専門家に質問してみよう
専門家登録

あなたにピッタリな商品が見つかる！ OKWAVE セレクト

平均値の定理について

質問者が選んだベストアンサー

お礼 2015/07/25 18:03

関連するQ&A

平均値の定理

平均値の定理

【数学】平均値の定理の応用について

コーシーの平均値の定理の問題です。

平均値の定理のcをbの関数と考えると・・・

平均値の定理を使った問題なんですが

コーシーの平均値の定理

平均値の定理を使うときに，最初に２つの宣言があります。

平均値の定理 区分求積法

平均値の定理の細かい疑問

平均値の定理と導関数

陰関数の定理がわかりません

平均値の定理について

この定理がわかると何が良いのでしょうか？

平均値の定理

平均値の定理の変形のθの意味

中間値の定理

平均値の定理の証明

平均値の定理の問題の解き方

中間値の定理の応用

注目のQ&A

カテゴリ 一覧

専門家に質問してみよう 専門家登録

あなたにピッタリな商品が見つかる！ OKWAVE セレクト

平均値の定理　区分求積法

カテゴリ
一覧

専門家に質問してみよう
専門家登録