平均値の定理の問題の解き方

質問

以下の問題の解き方がわからず、困っています。
解くにはとけたのですが、あっているかどうかわかりません。
わかる方、ご指南よろしくお願いします。

【問題】
次の関数に対して、「平均値の定理（３）」において、a=0としたときのθを求めよ。即ち、定数またはhの関数として表せ。
但し、h≠0は、0に十分近い数とする。

※「平均値の定理（３）」
　f(a+h)=f(a)+hf'(a+θh), 0<θ<1

x^2 + 1

【解答】
まず、f(a+h)を求める。
f(x)=x^2+1なので、
f(a+h) = (a+h)^2+1 = a^2+2ah+1+1 = a^2+2ah+2...(1)

次に、f(x)=x^2+1なので、f(a)を求める。
f(a)=a^2+1...(2)

最後に、f'(a+θh)を求める。
hf'(x)=2xより、hf'(a+θh)=2h(a+θh)...(3)

(1)(2)(3)を、f(a+h)=f(a)+hf'(a+θh)に代入して
a^2+2ah+2=a^2+1+2h(a+θh)

両辺を整理して
a^2-a^2+2-1=2h(a+θh)-2ah
1=2ah+h^2θ-2ah
h^2θ=1

よって、h^2θ=1が答え。

回答No.2

LOHA · ベストアンサー

大学受験知識(しかもうろ覚え)なので、間違っているかもしれませんがそこら辺はあらかじめご了承を。

やり方があっていると思いますが、面倒なことをやってますね。
＞f(a+h)=f(a)+hf'(a+θh), 0<θ<1
についてa=0という条件が与えられているので、
f(h)=f(0)+hf'(θh)
でやれば楽です。まぁ最後にaに0をいれてもよいですけどね。
いずれにせよ、式が与えられているのでそれに従って計算するだけでいいでしょう。
以下、気になった点をいくつか列挙しておきます。

＞f(a+h)=f(a)+hf'(a+θh), 0<θ<1
ですが、あまり一般的な形じゃない気がしますね。
平均値の定理は図で理解しておくとよいです。

＞f(a+h) = (a+h)^2+1 = a^2+2ah+1+1 = a^2+2ah+2...(1)
計算が間違ってますね。

＞hf'(x)=2x
これは打ち間違いですかね。

＞よって、h^2θ=1が答え。
これは答えとしては間違いでしょう。問題文に
＞θを求めよ。即ち、定数またはhの関数として表せ。
とあるので
θ = 1 / h^2
と書くのが正しいと思います。
ただし、h<<1ですから、この答えだと0<θ<1を満たさないので、少なくとも答えが間違っていると気づいてほしいところですね。

ちなみに計算したところθ=1/2になりました。計算を確認してみてください。

以上、参考になったら幸いです。

お礼

的確なご指導ありがとうございました。
計算の間違いも指摘していただき、ありがとうございました。
大変助かりました。

回答No.1

koko_u_

>よって、h^2θ=1が答え。

0<θ<1 なのではないのですか？

お礼

早速のご指導ありがとうございます。
条件に0<θ<1があるので、これを考慮するってことですね。

h^2θ=1を変形して、
θ=1/h^2

0<θ<1の条件より、↓まで導けばOKでしょうか？
0 < 1/h^2 < 1

以上、ご指導よろしくお願いします。