平均値の定理と導関数

質問

y=[{1-(x)^(1/4)}{1+(x)^(1/4)}]^(1/2)の導関数を求めよという問題があります。
両辺の対数をとり
logy=1/2log(1-x^(1/4))-1/2log(1+x^(1/4))
両辺を微分し
(1/y)dy/dx=-1/(8x^(3/4)(1-x^(1/4)-1/(8x^(3/4)(1+x^(1/4)=-1/{4x^(3/4)(1-x^(1/2))}
となり答えは
[-1/{4x^(3/4)(1-x^(1/2))}][{1-(x)^(1/4)}{1+(x)^(1/4)}]^(1/2)
となったのですがあっていますか？かなり見づらくてすみません。

もう一つは
a>0のとき
loge(a)+1/(a+1)<loge(a+1)<logea+1/aの証明。
a<c<a+hでf(a+h)-f(a)=hf'(c)を満たすcが存在する。
h=1,f(x)=logxで平均値の定理を使うというのは教科書を見てわかるのですがいざしようとすると解けないのです。

よろしくお願いします。

回答No.3

freedom560 · ベストアンサー

＞両辺の対数をとり
＞logy=1/2log(1-x^(1/4))-1/2log(1+x^(1/4))
対数を取ると
logy=1/2log(1-x^(1/4))+1/2log(1+x^(1/4))
ですね。

ちなみに、与式を見る限り
y=[{1-(x)^(1/4)}{1+(x)^(1/4)}]^(1/2)
={1-(x)^(1/2)}^(1/2)
として計算した方が楽そうに見えますが・・・

logy=1/2log(1-x^(1/2))
y'/y=-1/[4x^(1/2){1-x^(1/2)}] より
y'=-1/[4x^(1/2){1-x^(1/2)}^(1/2)]

２つめは慣れだと思います。
h=1,f(x)=logx までわかっていたら教科書の例題の解答の文字をh=1,f(x)=logxとして置き換えてみましょう。

お礼

回答有難うございます。
問題に間違いがありました。
[{1-(x)^(1/4)}/{1+(x)^(1/4)}]^(1/2)の間違いで分数です。
つまり答えは
[-1/{4x^(3/4)(1-x^(1/2))}][{1-(x)^(1/4)}/{1+(x)^(1/4)}]^(1/2)となります。

教科書の問題を参考にと考えたのですが説明はあってもいざ問題という問題がみつからずで困っていました。

回答No.2

postro

方針はあっているので計算があっていればOKでしょう(チェックしてません）
以下のようにしたら少しは簡単かも？
y=[{1-(x)^(1/4)}{1+(x)^(1/4)}]^(1/2)
={1-(x)^(1/8)}^(1/2)
y'=(1/2){1-(x)^(1/8)}^(-1/2)*(-1/8)(x)^(-7/8)
=(-1/16){1-(x)^(1/8)}^(-1/2)*(x)^(-7/8)

a<c<a+hでf(a+h)-f(a)=hf'(c)を満たすcが存在する。
h=1,f(x)=logxで平均値の定理を使うというのがわかれば、
log(a+1)-log(a)=1/c となるcが存在する。ただし　a＜c＜a+1　はOKですね。
0＜a に注意すると　1/(a+1)＜1/c＜1/a だから
1/(a+1)＜log(a+1)-log(a)＜1/a がわかります
もうできたようなもんですね。

お礼

回答有難うございます。
問題に間違いがありました。
[{1-(x)^(1/4)}/{1+(x)^(1/4)}]^(1/2)の間違いで分数です。
つまり答えは
[-1/{4x^(3/4)(1-x^(1/2))}][{1-(x)^(1/4)}/{1+(x)^(1/4)}]^(1/2)
となります。
よろしくお願いします。

回答No.1

kengon415

２つめの方です。

f(x)=logexとおきf'(x)=1/x
平均値の定理より
a<c<a+1でloge(a+1)-loge(a)=1/c　（h=1）

a<c<a+1
⇔1/(a+1)<1/c<1/a
⇔1/(a+1)<loge(a+1)-loge(a)<1/a
⇔loge(a)+1/(a+1)<loge(a+1)<loge(a)+1/a

証明終了

お礼

回答有難うございます。実際に使うにはこうすればよかったのですね。