平均値の定理に関する極限

質問

平均値の定理：
微分可能な関数ｆ（x）（a≦x≦a+h）に対して，
（f（a+h）-f（a））/h=f ’（a+θh）
をみたすθ（0＜θ＜1）が存在する。

もし
ｆ ’（x）（a≦x≦a+h）が単調増加または単調減少であれば、
逆関数arc（ｆ ’（x））が存在するので、上の式は、
arc（ｆ ’（（f（a+h）-f（a））/h））＝a+θh

θ＝（arc（ｆ ’（（f（a+h）-f（a））/h））－a）/h

となります。h→0のとき、θはどうなるのでしょうか？

たとえば、f（x）＝sin x　（0≦a≦x≦a+h≦π/2）のとき、

（sin（a+h）-sin（a））/h=cos（a+θh）

において、h→0のとき、θはどうなるのでしょうか？

回答No.3

endlessriver · ベストアンサー

θ=[Acos{(sin(a+h)-sin(a))/h}-a]/h　となる。h→0の極限はロピタルの定理により、
lim θ=lim(d/dh)[Acos{(sin(a+h)-sin(a))/h}-a]/1
=(lim)-1/√[(1-{(sin(a+h)-sin(a))/h}^2] × [cos(a+h)-{sin(a+h)-sin(a)}/h]/h

ここで分母は、その中身がsinの微分でcosになるから
(lim)√[(1-{(sin(a+h)-sin(a))/h}^2]=√(1-cos^2(a))=sin(a)

また分子を M=[cos(a+h)-{sin(a+h)-sin(a)}/h]/h とおくと、ロピタルの定理より

lim M=lim[-sin(a+h)-{cos(a+h)h-(sin(a+h)-sin(a))}/h^2]
=-sin(a)- lim[ {cos(a+h)-(sin(a+h)-sin(a))/h }/h]
=-sin(a) -lim M

これをまとめると
lim M=-sin(a)/2

これらをもとの式に代入すると
lim θ=lim M/(-sin(a))=1/2

ちなみにf(x)=constで、0<θ<1 は任意（不定？）。
f(x)=x^nでは多分θ→1/2

f(x)=e^xではθ→0
のようです。

回答No.6

alice_44

平均値定理を繰り返し使う っていうのは、
要するに A No.2 なんだが…

もとの平均値定理で θ の存在が保証される
条件は、f が一階微分可能なこと。
質問では、
f が単調という条件を追加しているけれども、
f' の連続性すら仮定していない。
f'' や f’’’ が出てくる解は、部分解。

ま、質問文中の例 f(x) = sin x や
f(x) = e^x には、使えるんだけれども。

回答No.5

endlessriver

#4さんの方法でよいようです。
平均値の定理を繰り返して使用すれば

f''(a)=0かつf'''(a)≠0ならばh→0のときθ→1/√3です。

帰納法を使えば、一般に
f^(i)(a)=0(i=2,...,n-1)かつf^(n)(a)≠0ならばh→0のときθ→(1/n)^(1/(n-1))

となることがわかります。

回答No.4

alice_44

f に関する平均値定理(１次テイラーの定理)
f(a+h) = f(a) + f'(a+θh) h
f' に関する平均値定理(１次テイラーの定理)
f'(a+θh) = f'(a) + f''(a+μθh) θh
f に関する２次テイラーの定理
f(a+h) = f(a) + f'(a) h + f''(a+νh)/2 h^2
から
f''(a+μθh) θ = f''(a+νh)/2
となる θ,μ,ν が区間 (0,1) に存在することが判るから、
h→0 の極限をとれば、θ→1/2.

…と言えるのは、
f''(x) が x = a で連続かつ f''(a) ≠　0
のときだけか。一般性が無いな。失敗。

f(x) = sin x, a = 0 では使えないが、
f(x) = e^x, a = 0 には使えるか。

回答No.2

Tacosan

たぶん
（sin（a+h）-sin（a））/h=cos（a+θh）
を満たす θ = θ(h) の h→0 における極限値を考えたいんだと思うけど＞#1, もしそうなら両辺をテイラー展開したら何とかなりませんかね.

お礼

{f(a+h)－f(a)}/h = f'(a+θh) (0＜θ＜1)

{f'(a)h＋f''(a)h^2/2+…}/h = f'(a)＋f''(a)θh＋f'''(a)θ^2h^2/2＋…

f''(a)h/2＋… = f''(a)θh＋f'''(a)θ^2h^2/2＋…

f''(a)/2＋… = f''(a)θ＋f'''(a)θ^2h/2＋…

h→0のとき、θ→1/2

次に。

f(a+h) = f(a)+f'(a)h+f''(a+θh)h^2/2 (0＜θ＜1)

f(a)+f'(a)h+f''(a)h^2/2+f'''(a)h^3/6+ … = f(a)+f'(a)h+(h^2/2){f''(a)+f'''(a)θh/2+f''''(a)θ^2h^2/6＋…}

f'''(a)h^3/6+ … = f'''(a)θh^3/4+f''''(a)θ^2h^4/12＋…

f'''(a)/6+ … = f'''(a)θ/4+f''''(a)θ^2h/12＋…

h→0のとき、θ→2/3

回答No.1

中村 拓男（@tknakamuri）

式を変形しただけなので、何も変わっていないと思います。
＃質問の意図を勘違いしてますでしょうか？

0＜θ＜1