- ベストアンサー
平均値の定理に関する極限
中村 拓男（@tknakamuri）の回答
- 中村 拓男（@tknakamuri）
- ベストアンサー率35% (674/1896)
式を変形しただけなので、何も変わっていないと思います。 ＃質問の意図を勘違いしてますでしょうか？ 0＜θ＜1
関連するQ&A
- コーシーの平均値の定理の問題です。
f(x),g(x)は[a,b]で連続かつ(a,b)上微分可能とする。さらに、g(x)が狭義単調増加関数であるとき、コーシーの平均値の定理、すなわち f(b)-f(a)/g(b)-g(a)=f'(c)/g'(c) c∈(a,b) となるcがあることをつぎのように証明せよ。 閉区間[g(a),g(b)]で定義される関数h(x)=f(g^-1(x))に平均値の定理を適用するです。 わかるかたがおられたら是非とも教えてください。よろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 平均値の定理 大学受験
問題は、 平均値の定理を用いて、次の不等式が成立することおｗ証明せよという問題です。 ｜sin(x+h) - sinx｜≦｜h｜ 解答は、f(x)=sinxとおくと、f(x)は微分可能で、平均値の定理を用いると sin(x+h)-ｓinx = cos(x+θh)h------------＊ ｜cos(x+θh)｜≦１より ｜sin(x+h) - sinx｜＝｜cos(x+θh)h ｜ ＝｜cos(x+θh)｜｜h｜≦｜ｈ｜ 証明終わりとなっています。 ですが、私は、＊のところがよくわかりません。 ｆ´（ｘ）＝cosxだから、右辺はh*cosx となるべきではりませんか？ どうして、cos(x+θh)hとなっているのでしょうか？ よろしくお願いします。補足が必要であれば、させていただきます。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 平均値の定理の変形のθの意味
（平均値の定理）：関数ｆ（ｘ）が閉区間［a,b］において連続、(a,b)において微分可能ならば、 a<c<bにおいて、｛ｆ（ｂ）－ｆ（a）｝／ｂ－a＝f´（ｃ）を満たすｃが存在する。 （その変形） ｂ＝a+h、θ＝（ｃ－a）／(ｂ－a)とすると、 ０＜θ＜１において、ｆ（a+h)=f(a)+hf´(a＋θｈ）を満たすθが存在する。 θと言う角度の記号を使っているのはなぜですか?
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 中間値の定理について
中間値の定理は f(a)とf(b)の符号が異なれば(a,b)に少なくとも1つは解をもつ ですよね? この時f(x)が単調増加または単調減少ならば解はちょうど一つに限られますよね? これは中間値の定理に含まれませんか? 証明なしに用いてもよいのでしょうか…
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 平均値の定理を使うときに，最初に２つの宣言があります。
平均値の定理を使うときに，最初に２つの宣言があります。 y=f(x)は区間［a,b]で連続で，区間(a,b)で微分可能であるとき，平均値の定理より・・・となるわけですが，(1)y=f(x)は区間［a,b]で連続 (2)区間(a,b)で微分可能である ということですが，この２つは何が根拠なのですか？こういうことであってますかね？ y=f(x)が，例えば，２次関数（放物線）であった場合， (1)すでにこのグラフの形を学んで知ってるので，そのグラフの形状を根拠に区間[a,b]で連続という。 (2)f(x)の導関数f'(x)があることを，すでに学んで知っている。また，f(x)が区間[a,b]で連続でなめらかであるから，f'(x)も区間(a,b)で全域で存在する。開区間になるのは，左微分係数＝右微分係数＝f'(a)が出来ないから，開区間になる。 ということでいいのでしょうか？
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 平均値の定理と導関数
y=[{1-(x)^(1/4)}{1+(x)^(1/4)}]^(1/2)の導関数を求めよという問題があります。 両辺の対数をとり logy=1/2log(1-x^(1/4))-1/2log(1+x^(1/4)) 両辺を微分し (1/y)dy/dx=-1/(8x^(3/4)(1-x^(1/4)-1/(8x^(3/4)(1+x^(1/4)=-1/{4x^(3/4)(1-x^(1/2))} となり答えは [-1/{4x^(3/4)(1-x^(1/2))}][{1-(x)^(1/4)}{1+(x)^(1/4)}]^(1/2) となったのですがあっていますか？かなり見づらくてすみません。 もう一つは a>0のとき loge(a)+1/(a+1)<loge(a+1)<logea+1/aの証明。 a<c<a+hでf(a+h)-f(a)=hf'(c)を満たすcが存在する。 h=1,f(x)=logxで平均値の定理を使うというのは教科書を見てわかるのですがいざしようとすると解けないのです。 よろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 中間値の定理とその系について
中間値の定理について (1)中間値の定理は逆について真でしょうか。つまり「関数f(x)が区間[a,b]で連続で、ｆ（a）≠ｆ（ｂ）ならば、ｆ（a）とｆ（ｂ）の間の任意の値ｋに対して、ｆ（ｃ）＝ｋ、a＜ｃ＜ｂを満たすｃが少なくとも一つ存在する」の逆は真かどうか (2)中間値の定理の系について、[関数f(x)が区間[a,b]で連続で、ｆ（a）≠ｆ（ｂ）、ｆ（ｘ）が単調増加または単調減少ならば、 ｆ（a）とｆ（ｂ）の間の任意の値ｋに対して、ｆ（ｃ）＝ｋ、a＜ｃ＜ｂを満たすｃがただ１つ存在する。」 の逆は言えますか？ 高校数学の範囲で詳しい解説をお願いします！
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 平均値の定理の問題の解き方
以下の問題の解き方がわからず、困っています。 解くにはとけたのですが、あっているかどうかわかりません。 わかる方、ご指南よろしくお願いします。 【問題】 次の関数に対して、「平均値の定理（３）」において、a=0としたときのθを求めよ。即ち、定数またはhの関数として表せ。 但し、h≠0は、0に十分近い数とする。 ※「平均値の定理（３）」 f(a+h)=f(a)+hf'(a+θh), 0<θ<1 x^2 + 1 【解答】 まず、f(a+h)を求める。 f(x)=x^2+1なので、 f(a+h) = (a+h)^2+1 = a^2+2ah+1+1 = a^2+2ah+2...(1) 次に、f(x)=x^2+1なので、f(a)を求める。 f(a)=a^2+1...(2) 最後に、f'(a+θh)を求める。 hf'(x)=2xより、hf'(a+θh)=2h(a+θh)...(3) (1)(2)(3)を、f(a+h)=f(a)+hf'(a+θh)に代入して a^2+2ah+2=a^2+1+2h(a+θh) 両辺を整理して a^2-a^2+2-1=2h(a+θh)-2ah 1=2ah+h^2θ-2ah h^2θ=1 よって、h^2θ=1が答え。
- ベストアンサー
- 数学・算数