平均値の定理 大学受験

質問

問題は、
平均値の定理を用いて、次の不等式が成立することおｗ証明せよという問題です。
｜sin(x+h)　-　sinx｜≦｜h｜

解答は、f(x)=sinxとおくと、f(x)は微分可能で、平均値の定理を用いると
sin(x+h)-ｓinx = cos(x+θh)h------------＊
｜cos(x+θh)｜≦１より
｜sin(x+h)　-　sinx｜＝｜cos(x+θh)h ｜
＝｜cos(x+θh)｜｜h｜≦｜ｈ｜
証明終わりとなっています。

ですが、私は、＊のところがよくわかりません。
ｆ´（ｘ）＝cosxだから、右辺はh*cosx
となるべきではりませんか？
どうして、cos(x+θh)hとなっているのでしょうか？
よろしくお願いします。補足が必要であれば、させていただきます。

回答No.5

zk43 · ベストアンサー

グラフがわからないとあったので、ちょっと補足を書きます。

[a,b]の区間で何でもよいので、連続で微分可能な関数のグラフを描きます。（２点(a,f(a))、(b,f(b))をなめらかな曲線で結ぶ。）
そして、２点(a,f(a))、(b,f(b))を直線で結びます。
この直線の傾きが(f(b)-f(a))/(b-a)ですね。
すると、曲線上のある点(c,f(c))において、２点(a,f(a))、(b,f(b))を結ぶ直線に平行な接線を引けることがわかると思います。（複数個ある場合もある）
この接線の傾きはf'(c)です。
すなわち、f'(c)=(f(b)-f(a))/(b-a)です。

文章だとちょっとわかりにくいかも知れません。

ウィルキペディアの平均値の定理で、図が出ているのでご参考に。

お礼

度々のご回答ありがとうございます。
今、書いてみたら、できました。
ただ、cosとかsinとなるとちょっと。。。
と思ったのですが、曲線は曲線ですよね。
わかりました。度々ご回答いただきましてありがとうございました。
大変参考になりました。

回答No.4

jamf0421

＞＞sin(x+h)-sinx=hcosxは一般に成立しません。
＞がいまいちよくわかりませんでした。

もし成立する、というのでしたら証明が必要です。成立しないというのならば反例を一つ挙げればよいのです。たとえばh=πとします。そうすると、
sin(x+π)=-sinxですから、左辺=-2sinx、
従って-2sinx=hcox=πcosx
つまりtanx=-π/2
これが任意のxについて成立することはありません。たとえばx=0なら左辺はゼロです。
もしh=0なら絶対成立することは明らかですが、今度は意味がありません。
それを(sin(x+h)-sinx)/hでh→0にしてやればcosxになってくれるのが微分の大きな意味です。

お礼

度々のご回答ありがとうございます。
今やってみると、確かにh=πでは成立しないですね。どうして成立しないのかがまた疑問ですが。どこも間違っていなければ、成立しそうなのに。。。

微分の意義がいまいち感じれないのは、勉強不足でしょうか。
貴重なご意見ありがとうございました。

回答No.3

Mr_Holland

平均値の定理は
　　{f(b)-f(a)}/(b-a)=f'(c)、　a<c<b
ですが、これをそのまま当てはめれば、
　　{sin(x+h)-sin(x)}/{(x+h)-x}=cos(x+θh)
　　ただし、0<θ<1
となるので、この式を整理して両辺にhをかけたものが＊の式
　　sin(x+h)-sin(x) = cos(x+θh)h
になっています。
　ちなみに、右辺のcosの中身がx+θh(=c)になっているのは、この値がx(=a)とx+h(=b)の間にあることを規定するためです。

お礼

ご回答ありがとうございます。
＞ちなみに、右辺のcosの中身がx+θh(=c)になっているのは、この値がx(=a)とx+h(=b)の間にあることを規定するためです
がどうしてそれで規定できるのかわからないです。。。
すみません。

回答No.2

jamf0421

sin(x+h)-sinx=hcosxは一般に成立しません。
平均値定理とは。[a,b]で連続、(a,b)で微分可能な関数f(x)について
(f(a)-f(b))/(b-a)=f'(ξ), a<ξ<b
となるξがある、というものです。すなわちξは質問者さんの記述によればxとx+hの間に存在することになります。
ちなみに(f(a)-f(b))/(b-a)はf(a)からf(b)に引いた直線の勾配にあたります。その勾配に丁度等しい微分係数を持つ場所が(a,b)に存在する、ということです。

お礼

ご回答ありがとうございます。
ですが、
＞sin(x+h)-sinx=hcosxは一般に成立しません。
がいまいちよくわかりませんでした。

回答No.1

zk43

そもそも、平均値の定理とは、
「f(x)が[a,b]で連続、(a,b)で微分可能のとき、
f'(c)={f(b)-f(a)}/(b-a)
を満たすc（a＜c＜b）が存在する。」
というものです。
すなわち、(a,b)内の点cでの瞬間変化率f'(c)で、全体の平均的な
変化率{f(b)-f(a)}/(b-a)に等しいようなものが存在するという
ものです。

質問の場合では、a=x,b=x+h,c=x+θh（0＜θ＜1）の場合
（x＜x+θh＜x+h）
グラフを描いてみれば、感覚的に分かります。
高校では厳密な証明はやりませんが・・・

お礼

ご回答ありがとうございます。
グラフとはどんなグラフかわかりませんでした。
厳密な証明はいらないですが、感覚的にわかりたいです。。。