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合成関数の微分法で質問です

合成関数の微分法で質問です (sinX)'=cosXという公式がありますよね そこで (sin2x)を微分すると 2sin2xになるのですが、 公式的に、 (sinx)'=cosxならば なぜ(sin2x)'=cos2x  こうならないのでしょうか

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  • 回答No.3
  • sanori
  • ベストアンサー率48% (5664/11798)

こんにちは。 まず、 z=2x と置けば、 y=sin(2x)=sinz dz/dx = 2 dy/dz = cosz よって、 (sin(2x))’= dy/dx = dy/dz・dz/dy  = cosz・2  = 2cos(2x) です。 次に、直感的に考えましょう。 y’=(sin(2x))’ は y=sin(2x) のグラフの傾きを表す関数です。 そして、sin(2x)は、最大値(=1)と最小値(=-1)はそのままに、sinx の周期を半分にした関数です。 周期を半分にするということは、それだけ1とー1の間を忙しく行き来しなくてはいけないので、 傾き(の最大値)が2倍になってくれないと、周期を半分にするのに追いつきません。 ですから、導関数には2という係数がつかないと、sin(2x)という人は困るのです。 手元で落書きしてみるだけでわかりますよ。 ご参考になれば。

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  • 回答No.5
  • sanori
  • ベストアンサー率48% (5664/11798)

No.3の回答者です。 誤字がありましたので、訂正させてください。 --------------------------- よって、 (sin(2x))’= dy/dx = dy/dz・dz/dy←【ここが間違い】  = cosz・2  = 2cos(2x) です。 --------------------------- 正しくは、 dy/dz・dz/dx でした。

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  • 回答No.4
  • R_Earl
  • ベストアンサー率55% (473/849)

ちゃんとした話は他の回答者の方々がしているので 別の視点で考えてみます。 > 公式的に、 > (sinx)'=cosxならば > なぜ(sin2x)'=cos2x  > こうならないのでしょうか (sinx)'を「sinxを微分する」という事だと考えていませんか? 実はこれ、正確ではないんです。 (sinx)'は「sinxをxで微分する」という事を表します。 普段意識しないかもしれませんが、「何で微分するのか」という所が 実はとっても大事なんです。 (sin(2x))'は「sin(2x)をxで微分する」という事を表します。 (sinx)' = cosxという公式は、 「sinxを、sinの中身と同じ物(つまりx)で微分するとcosxになる」 という事を言っています。 ここで(sin(2x))'を考えます。 (sin(2x))'はsin(2x)をxで微分しています。 つまりsinの中身と違うもので微分しています。 だから公式が使えないんです。 sin(2x)はxで微分すると2cos(2x)になります。 が、sin(2x)を2x(つまりsinの中身と同じもの)で微分すれば、cos2xになります。 これは公式通りです。 他の例だと、sin(x^2 + 2x + 3)をxで微分すると(2x + 2)sin(x^2 + 2x + 3)ですが、 sin(x^2 + 2x + 3)をx^2 + 2x + 3で微分すればcos(x^2 + 2x + 3)となります。

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質問者からのお礼

ありがとうございます

  • 回答No.2
noname#121811

>(sin2x)を微分すると 2sin2xになるのですが、 2cos2xになります。 合成関数の微分 関数f(x),g(x)の微分がそれぞれf'(x),g'(x)の時、 合成関数f{g(x)}の微分は[f{g(x)}]'=f'{g(x)}*g'(x)です。 今回の質問ではf(x)=sinx,g(x)=2xなので f'(x)=cosx g'(x)=2 ゆえに(sin2x)'=[f{g(x)}]'=cos(2x)*2 質問文の場合、最後の*2、つまりg'(x)が足りません。

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  • 回答No.1

まず、 (sin(2x))'=2*cos(2x) です。 合成関数の微分は、 y=f(u)、u=g(x) と書ける時、 dy/dx=(df(u)/du)*(dg(x)/dx) の計算をします。 yをuで微分し、uをxで微分するわけです。 今回の場合、 y=sin(u)、u=2x とおいて、 dy/dx=((d/du)sin(u))*((d/dx)2x) =cos(u)*2 =2*cos(2x) となります。

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