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この定理がわかると何が良いのでしょうか？
書き方が変なところがあるかも知れませんが、ご了承ください。 以下の定理がわかると、なにが良いのか、どのような事に役立つのか、何につながるのかというのがわかりません。 よろしければ教えていただきたく思います。 本に書いてあるまま書き出します。 ＜リースの積分表示定理＞ Ｅ:ノルム空間 Ｃ：区間[0,1]で定義された全ての連続関数の作る集合 とした時、Ｃの線形汎関数ｆに対して有界変動関数φが存在し、 ｆ(x)＝∫x(t)dφ(t) (範囲は０～１) で与えられる。その時、fのノルムはφの全変動に等しい。
- 水原 ユカ（@GtoE）
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この手の類の表現定理は、双対空間の具体的な表示を述べている定理だと理解されるとよいと思います。たとえば、[0,1]上の連続関数全体の双対空間とは、Ｃ上の連続線形汎関数たちのことですが、しかしそうはいっても連続線形汎関数とはどんなものがあるのか、またその空間はいったいどれぐらい大きいのか、いまいち判然としません。そこでＣ上の連続線形汎関数の別の表示はないのか？ということを考え、あるバナッハ空間との等長同型を示すわけです。たとえば、有名なリースの表現定理というのがありますが、あれは、ヒルベルト空間の双対空間は自分自信と等長同型だ、ということを述べています。あるいは、バナッハ空間L^pの双対空間はL^qと等長同型だ、という定理もあります。いずれも、ある具体的なバナッハ空間の双対空間を、既に知られている（構造がよく分かっている）別のバナッハ空間と同一のものとみなせる（表現できる）という類の定理なのです。 [0,1]上の有界変動関数たちは、その全変動を取ることにより、完備ノルム空間になりますが、それとＣ上の連続線形汎関数たちは上のリースの表現定理によって、一対一の関係にある、ということを述べています。これを用いれば、いろいろな計算を有界変動関数の積分の計算を通じて行うことも可能になります。
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お礼
大変よくわかりました！！ これほどわかりやすい説明ははじめてです。 どうもありがとうございました。