陰関数の定理がわかりません

質問

陰関数の定理について、
証明はまだ習わないで、定理だけいきなり出てきたのですが、
読んだだけではいまいち意味がつかめませんでした。
この定理が何をいおうとしているかわかり易く
説明していただけないでしょうか？
(漠然とした質問で申し訳ありません）
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　陰関数の定理：
f(x, y) をR2 におけるC1 級関数とし，
点(a, b) において
f(a, b) = 0; fy(a, b) ≠ 0とする．
このときa を含むある小さな開区間I をとれば
I の上で定義されたC1 級関数
y = φ(x) で次の条件を満たすものがただ１つ存在する:
b = φ(a),
f(x,　φ(x)) = 0 (x は 閉区間I内),
さらに
φ’(x) = -｛fx(x,　φ(x))｝/｛fy(x,　φ(x)｝
が成立する．
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回答No.3

kabaokaba · ベストアンサー

とりあえず，もうちょっと偏微分や関数の勉強を
頑張ってください．
何か根本的な部分を勘違いしている可能性があります．

>f(x,y)=0はそもそもｘｙ平面上でのことで、３次元ではないのに、
>どうやって“fy(a, b)”を考えることができるのでしょうか？
>fy(a, b)は３次元的に考えないと値を出せないと思うのですが、、、

これは次のように表現を変えてみましょう

f(x)=0はそもそも数直線上でのことで、２次元ではないのに、
どうやって“f'(a)”を考えることができるのでしょうか？
f'(a)は２次元的に考えないと値を出せないと思うのですが、、、

おっしゃってることが「おかしい」ことがお分かりになりますか？

f(x,y)というのは，R^2上の関数fの点(x,y)での値です．
したがって，z=f(x,y) と考えれば，これは
確かにR^3での「グラフ」になります．
これは y=f(x) が平面のグラフになることと同じです

翻って，f(x,y)=0 というのは，
R^2の点(x,y)でf(x,y)=0となる点（の集合）のことです．
これは f(x)=0 の場合は「解」に相当しますが，
f(x,y)=0も「解」（の集合）とみなせばいよいだけです．

また，偏微分f_y(x,y)も単に点(x,y)での値に過ぎませんので
3次元とか考えずに計算できます．

陰関数の定理というのは，
陰関数f(x,y)=0を，y=φ(x)という形で表現できる
ということを（特定の条件下で）保証する定理で
実際は，いろいろな理論の根底で使われます．

お礼

解答ありがとうございます。
偏微分について読み直して、
根本的な部分の間違いをさがしてみます。

あいまいな表現の質問に付き合っていただき
本当にありがとうございました。
またよろしくお願いします。

回答No.2

noname#101087

「陰関数の定理」の証明を通読したとき、たいてい肩すかしを食らったみたいな感じがするようですね。
何の役に立つものやら。

使用例でもご覧ください。
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　http://ysserve.int-univ.com/Lecture/Optimization1/node22.html
>陰関数定理とラグランジュ乗数
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制約つき極値問題解法の「道具」と書いてありますが、「踏み台」といった感じ。
LP(線形計画)でも「ラグランジュ乗数」を見かけたような覚えがあります。

お礼

陰関数の定理がどのように使われるか
教えていただきありがとうございます。
しかし、私はそれ以前に偏微分についてまちがった
解釈をしているようなのでそこからやり直そうと思います。
質問に付き合っていただきありがとうございました。

回答No.1

kabaokaba

要は
方程式 f(x,y)=0 が y=φ(x)という形に「解ける」ための
十分条件を明示しているんです．
＃出所は
＃http://www.math.waseda.ac.jp/~shibata/papers/lectures/implicitqa.pdf
＃ですか？

後半のφ'(x)に関しては，f(x,φ'(x))=0から自明なので，
陰関数定理の本質ではありません．

ぶっちゃけた話，ある変数yでの偏微分が0にならない点の
近くでは，y=φ(x) の形にすることができるということです．
注意しないといけないのは
「y=φ(x) の形にすることができる」からといって
具体的なxの関数で表すことができるとは限らないことです．

具体例を自分で考えてみてください．
絶対に「y=φ(x)」と表せない例だけあげておきます

f(x,y)=y^2-x^2 として，原点(0,0)の近傍では
f(x,y)=0はy=φ(x)とは表せません．

補足

解答ありがとうございます。
少しつかめてきたような気がします。

このなかで、
どうしてもこの定理の中でわからないことがあるのですが、
f(x,y)=0はそもそもｘｙ平面上でのことで、３次元ではないのに、
どうやって“fy(a, b)”を考えることができるのでしょうか？
fy(a, b)は３次元的に考えないと値を出せないと思うのですが、、、