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陰関数の定理がわかりません
陰関数の定理について、 証明はまだ習わないで、定理だけいきなり出てきたのですが、 読んだだけではいまいち意味がつかめませんでした。 この定理が何をいおうとしているかわかり易く 説明していただけないでしょうか？ (漠然とした質問で申し訳ありません） _______________＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 陰関数の定理： f(x, y) をR2 におけるC1 級関数とし， 点(a, b) において f(a, b) = 0; fy(a, b) ≠ 0とする． このときa を含むある小さな開区間I をとれば I の上で定義されたC1 級関数 y = φ(x) で次の条件を満たすものがただ１つ存在する: b = φ(a), f(x, φ(x)) = 0 (x は 閉区間I内), さらに φ’(x) = -｛fx(x, φ(x))｝/｛fy(x, φ(x)｝ が成立する． _____________＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
- jacky03
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とりあえず，もうちょっと偏微分や関数の勉強を 頑張ってください． 何か根本的な部分を勘違いしている可能性があります． >f(x,y)=0はそもそもｘｙ平面上でのことで、３次元ではないのに、 >どうやって“fy(a, b)”を考えることができるのでしょうか？ >fy(a, b)は３次元的に考えないと値を出せないと思うのですが、、、 これは次のように表現を変えてみましょう f(x)=0はそもそも数直線上でのことで、２次元ではないのに、 どうやって“f'(a)”を考えることができるのでしょうか？ f'(a)は２次元的に考えないと値を出せないと思うのですが、、、 おっしゃってることが「おかしい」ことがお分かりになりますか？ f(x,y)というのは，R^2上の関数fの点(x,y)での値です． したがって，z=f(x,y) と考えれば，これは 確かにR^3での「グラフ」になります． これは y=f(x) が平面のグラフになることと同じです 翻って，f(x,y)=0 というのは， R^2の点(x,y)でf(x,y)=0となる点（の集合）のことです． これは f(x)=0 の場合は「解」に相当しますが， f(x,y)=0も「解」（の集合）とみなせばいよいだけです． また，偏微分f_y(x,y)も単に点(x,y)での値に過ぎませんので 3次元とか考えずに計算できます． 陰関数の定理というのは， 陰関数f(x,y)=0を，y=φ(x)という形で表現できる ということを（特定の条件下で）保証する定理で 実際は，いろいろな理論の根底で使われます．
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「陰関数の定理」の証明を通読したとき、たいてい肩すかしを食らったみたいな感じがするようですね。 何の役に立つものやら。 使用例でもご覧ください。 ----------------------- http://ysserve.int-univ.com/Lecture/Optimization1/node22.html >陰関数定理とラグランジュ乗数 ----------------------- 制約つき極値問題解法の「道具」と書いてありますが、「踏み台」といった感じ。 LP(線形計画)でも「ラグランジュ乗数」を見かけたような覚えがあります。
お礼
陰関数の定理がどのように使われるか 教えていただきありがとうございます。 しかし、私はそれ以前に偏微分についてまちがった 解釈をしているようなのでそこからやり直そうと思います。 質問に付き合っていただきありがとうございました。
- kabaokaba
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要は 方程式 f(x,y)=0 が y=φ(x)という形に「解ける」ための 十分条件を明示しているんです． ＃出所は ＃http://www.math.waseda.ac.jp/~shibata/papers/lectures/implicitqa.pdf ＃ですか？ 後半のφ'(x)に関しては，f(x,φ'(x))=0から自明なので， 陰関数定理の本質ではありません． ぶっちゃけた話，ある変数yでの偏微分が0にならない点の 近くでは，y=φ(x) の形にすることができるということです． 注意しないといけないのは 「y=φ(x) の形にすることができる」からといって 具体的なxの関数で表すことができるとは限らないことです． 具体例を自分で考えてみてください． 絶対に「y=φ(x)」と表せない例だけあげておきます f(x,y)=y^2-x^2 として，原点(0,0)の近傍では f(x,y)=0はy=φ(x)とは表せません．
補足
解答ありがとうございます。 少しつかめてきたような気がします。 このなかで、 どうしてもこの定理の中でわからないことがあるのですが、 f(x,y)=0はそもそもｘｙ平面上でのことで、３次元ではないのに、 どうやって“fy(a, b)”を考えることができるのでしょうか？ fy(a, b)は３次元的に考えないと値を出せないと思うのですが、、、
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