テイラー展開と関数値の求め方

質問

２変数関数f(x,y)があり、閉区間[a-b]×[c-d]で定義されているとします。
関数は区間内の少なくとも１点でテイラー展開可能であり、関数値はそれに一致します。

点(a,c)での極限値
lim[x→a]f(x,c)
lim[y→c]f(a,y)
や、偏微分係数
lim[x→a]fy(x,c)
lim[y→c]fx(a,y)
…
が与えられていれば、関数値f(a,c)が求められると予想したのですが、どう考えればいいですか？
なお、これ以外の条件が必要なら、付けて構いません。

回答No.2

Tacosan

閉領域 [a-b]×[c-d] にはたくさんの点があって, それぞれの点ごとに「関数値」が存在することはいいよね.

さて, 「テイラー展開で得られたべき級数を計算すれば、関数値が得られる」といったときの「関数値」ってのは「どこにおける値」のことを指している?

でちょっと考えてみると, f が点(a, c) で連続でないと「何を与えられても計算できない」例は容易に想像できる.

お礼

関数 f(x,y) を 点(e,f) でテイラー展開した時、それを
　g(x,y) = Σ[i=0,∞][j=0,∞]A_ij (x-e)^i (y-f)*j
とすると、閉領域 [a-b]×[c-d] のすべての点で
　g(x,y) = f(x,y)
であること。この説明で関数値が一致するということの意味が伝わりますか？

f(x,y) は各点で関数値が計算できるので、g(x,y)というべき級数は閉領域で収束します。
つまり「何を与えられても計算できない」という状況は起きないと思います。
逆に、計算できないなら、それは関数値が一致するとは言えません。
関数値が一致することは、点(a,c)を含めての条件ですし。

…というのが、私の考えですが、
もし、用語の使い方が誤ってるとかなら、指摘してください。

回答ありがとうございました。

回答No.1

Tacosan

「関数は区間内の少なくとも１点でテイラー展開可能であり、関数値はそれに一致します。」
ってどういう意味だ? 特に
「関数値はそれに一致します」
が何を言っているのかわからん.

お礼

テイラー展開には収束半径があるので、区間内ですべて元の関数と一致するとは限りません。
一致するとは、テイラー展開で得られたべき級数を計算すれば、関数値が得られるという意味です。

回答ありがとうございました。