２変数テイラー展開の問題が分かりません。

質問

見ていただきありがとうございます。

問題は次です。
次の函数f(x，y)=のx=1、y=1におけるテイラー展開を３次の項まで求めよ。
f(x，y)=logy/x
自力でやったとこまで書き出したいと思います。
１階微分　∂f/∂x=logy・(-x^-2)、　∂f/∂y=(y^-1)・x^-1

2階微分　∂^2f/∂x^2=logy・(2x^-3)、　∂^2f/∂y^2=(-y^2)・x^-1
　　　　 ∂^2f/∂x∂y=y^-1・(-x^2)

3階微分　∂^3f/∂x^3=logy・(-6x^-4)、 ∂^3f/∂y^3=2y^-3・x^-1
　　　　 ∂^3f/∂x^2∂y=y^-1・2x^-3、 ∂^3f/∂x∂y^2=(-y^-2)・(-x^-2)
となり、あらかじめ(x，y)=(1，1)を代入しておきます。

テイラー展開をすると
f(x，y)=(y-1)＋1/2(y-1)^2+(x-1)(y-1)+1/24(y-1)^3+1/8(x-1)^2(y-1)+(x-1)(y-1)^2
となりました。

答えがないのであってっているか分かりません。
もし計算やテイラー展開が間違っていたら回答よろしくお願いします。
また補足説明などしてくれるとありがたいです。
回答よろしくお願いします。

回答No.1

info22_ · ベストアンサー

>∂^2f/∂y^2=(-y^2)・x^-1
∂^2f/∂y^2=(-y^(-2))・x^(-1) の間違い。
>∂^2f/∂x∂y=y^-1・(-x^2)
∂^2f/∂x∂y=y^-1・(-x^(-2)) の間違い。

>あらかじめ(x，y)=(1，1)を代入しておきます。
代入した値をちゃんと書いて下さい。
補足にどうぞ！

>f(x，y)=(y-1)＋1/2(y-1)^2+(x-1)(y-1)+1/24(y-1)^3+1/8(x-1)^2(y-1)+(x-1)(y-1)^2
間違っています。
(x-1)^(n-j)*(y-1)^jの項の係数は
n!*nCj*{∂^n f/∂x^(n-j)∂y^j}(1,1) (j=0,1,...,n)
です。

回答No.2

alice_44

log y を y=1 で、
1/x を x=1 で
テイラー展開してから、
掛け算の括弧を開けば楽。