テイラー展開の問題がわからないので初心者でもわかりやすい回答お願いします。

質問

f(x)=1/√(1+x)をx=0のまわりでテイラー展開
arcsinxのx=0のまわりでテイラー展開お願いします。
私が分からないところは微分はし続けました。しかし、n階微分した時がわからないのです。

回答No.1

sanori · ベストアンサー

こんばんは。

１個目

ｆ（ｘ）＝　１／√（１＋ｘ）　＝　（１＋ｘ）^(-1/2)

ｆ’（ｘ）＝　（－１／２）・（１＋ｘ）^(-3/2)
　＝　（－１）^1・１／２^2・（１＋ｘ）^(-5/2)

ｆ’’（ｘ）＝　（－１／２）・（－３／２）・（１＋ｘ）^(-5/2)
　＝　（－１）^2・（１・３）／２^2・（１＋ｘ）^(-5/2)

ｆ’’’（ｘ）＝　（－１／２）・（－３／２）・（－５／２）・（－（１＋ｘ）^(-7/2)
　＝　（－１）^3・（１・３・５）／２^3・（１＋ｘ）^(-7/2)

ｆ’’’’（ｘ）＝　（－１／２）・（－３／２）・（－５／２）・（－７／２）・（－（１＋ｘ）^(-7/2)
　＝　（－１）^4・（１・３・５・７）／２^4・（１＋ｘ）^(-7/2)

ｆのｎ回微分　＝　（－１）^n・｛Π[k=1→n]（２ｎ－１）｝・（１＋ｘ）^(-(2n-1)/2)

Π（パイ）という記号は、項同士を掛け算する記号です。
Σ が、項同士を足し算する記号であるのに対し、Π は、掛け算だということです。

２個目
ｆ（ｘ）＝　arcsinｘ
ｘ　＝　sinｆ
ｄｘ／ｄｆ　＝　cosｆ

逆関数の微分
ｄｆ／ｄｘ　＝　１／cosｆ　＝　１／√（１－sin^2ｆ）
　＝　１／√（１－ｘ^2）

ここまで来れば、何とかなると思いますが。

以上、ご参考になりましたら。
（どっか計算ミスをしているかもしれないので、検算してください。）

お礼

ありがとうございました。パイの性質については全然ならってなかったので勉強になったと思います。

回答No.3

noname#111804

テイラー展開（１）

回答No.2

noname#111804

テイラー展開（２）