テイラー展開に関する問題

質問

f(x) = x^2 + (x^3)sin(x^2)
とするとき、4n+5番目のテイラー展開はどのようにしたら求められますか？

また、例えばf(x)を2007回微分したとしたら、どのような式になるでしょうか？

回答No.1

Meowth

sin(x^2)のn番目のテイラー展開
1/(2n-1)!(-1)^(n-1)x^2n
(x^3)sin(x^2)のn番目のテイラー展開
1/(2n-1)!(-1)^(n-1)x^(2n+3)

f(x) = x^2 + (x^3)sin(x^2)のn＋１番目のテイラー展開
1/(2n-1)!(-1)^(n-1)x^(2n+3)
1番目は x^2
ｆ0（ｘ）＝(x^3)sin(x^2)
n回微分を
fn(x)=An(x)sin(x^2)+B(n)(x)cos(x^2)
とすると、
f(n+1)(x)=(An'-2xBn)sin(x^2)+(Bn'+2xAn)cos(x^2)
A0=x^3,B0=0
A(n+1)=An'-2xBn
B(n+1)=Bn'+2xAn
A1=3x^2 B1=2x^4
A2=6x-4x^5 B2=8x^3+6x^3=14x^3
....
これをとけばいい