高階偏微分係数とテイラー展開

質問

ｎ変数をまとめてｘで表し、
ｘ＝（ｘ１、ｘ２、ｘ３・・・、ｘｎ）
また
∂ｊ＝∂/∂ｘｊをｘｊについての偏微分とします。
多重指数α＝（α１、α２、α３・・・、αｎ）に対して、　　　
(1)ｘ＾α＝ｘ１＾α１・ｘ２＾α２・ｘ３＾α３・・・・ｘｎ＾αｎ
(2)∂＾α＝∂１＾α１・∂２＾α２・∂３＾α３・・・・∂ｎ＾αｎ
(3)α！＝α１！・α２！・３！・・・・・・αｎ！
(4)｜α｜＝α１＋α２＋α３・・＋αｎとします。
(5)ｆ（ｘ）を無限回微分可能な関数とします。

(1)．aとｈを固定してF(ｔ)＝ｆ（a+th）とします。
ｎ＝０，１，２，３に対して、
F（ｔ）のｎ回微分Ｆ＾（n）（t）【＾（n）のように微分の場合括弧をつけます】は
Σ（ｎ！/α！）・ （h＾α）（∂＾α）（a+
th）等しいことを示しなさいという問題。むずかしいです。帰納法で攻めてったらいいのでしょうか？

(2)．Ｆ（t）についてのt＝０でのテイラー展開から
Ｆ(１)＝Σ<p＝０→n>{Ｆ＾（p）（０）}/p！＋
１/n！∫<０→１>（１－t）＾n・Ｆ＾（n
+1）(t)dtを導き、さらにこの等式がx＝a
でのテイラー展開f(a+h)=Σ<｜α｜≦n>{∂＾α・f（a
）h＾α}/α！＋Σ<｜β|=n+1｜>{(n＋１)h＾β}/β!・（∫<０→１>（１－t）＾n・∂＾β・f（a+th）dtを導高とは思うんですが・・・

回答No.2

grothendieck · ベストアンサー

himajin4649さん、こんにちは。(2)の最初の式はF(t)のテイラー展開
　F(x)=Σ<p=0→n>{F＾(p)(0)} x＾p/p! +
　　1/n!∫<0→x>(x-t)＾n・Ｆ＾(n+1)(t)dt
でx=1とおいたものです。次の式はこの式に(1)で求めた
　Ｆ＾(p) (t) = (h＾p)Σ(p!/α!)(∂＾α)f(a+th)
を代入するだけです。

回答No.1

grothendieck

himajin4649さん、こんにちは。(2)の方はどこまでが問題なのかよく分かりません。(1)の方だけ回答します。変数の数をn、微分の階数をkとして、
　Ｆ＾(k) (t)
　=(h＾k)Σ(k!/α!)(∂＾α)f(a+th)　…(1)
を示します。ここで和は
　α１＋α２＋α３・・＋αｎ=k
となるようなkの分割についての和です。
　(d/dt)f(a+th) = hΣ∂i f(a+ht)
なので(ここで和はiについて1からnまでの和)
　Ｆ＾(k) (t)
　=(h＾k)Σ∂i1∂i2…∂ik f(a+th)
となります(ここで各iについて1からnまでの和)。次ぎに偏微分の順序は交換できるとします。するとΣ∂i1∂i2…∂ikの中で∂1＾α1・∂2＾α2・∂3＾α3…∂n＾αn に等しくなるのは、色1の玉がα1個、色2の玉がα2個…色nの玉がαn個で合計k個あるときの順列の数だけあります。これが(k!/α!)です。したがって(1)が成立します。

補足

(1)のほうでΣの下に｜α｜＝ｎと書き忘れました。すいません。あと（２）に関してですが、２つの等式を示したいって事です。Σの隣にある〈〉はΣの下に書くべき値です。