微分演算子があるテーラー展開

質問

こんにちは．宜しくお願いいたします．

いま，微分演算子をDとします．つまり，Dx(t)=dx(t)/dtの意味です．
ただし，x(t)はｘが時間ｔの関数.
下に出てくるｓも時間記号で，ｓ≧ｔ.

ここで，
X=0で，exp(x)のテーラー展開は，ふつうに
exp(x)=1+x+(x^2)/2!+・・・・です．

そこで，
(s-t)D=0で，exp[(s-t)D]のテーラー展開は，
exp[(s-t)D]=1+(s-t)D+[(s-t)^2*D^2]/2!+・・・・となります．

ここまではよしとしますが，

よって，
exp[(s-t)Dx(t)]=x(t)+(s-t)Dx(t)+{[(s-t)^2*D^2]/2!}*x(t)+・・・・
∴　=x(t+s-t)＝x(ｓ）　←ここのx(t+s-t)になるのが分かりません．

数学通の方，宜しくお願い致します．

回答No.4

Mr_Holland · ベストアンサー

＃１／＃２です。
お礼＆補足を拝見しました。再びありがとうございます。

＞x(t)has a convergent Tayler's series expantion.

　私は英語は得意ではないのですが、これは『収束可能なテイラー級数展開をもつ』と書いているのではないでしょうか。だとれば、まさに前提とした条件（テイラー展開可能；(実)解析的）が設定されていることになります。

＞(c_n) t^nの級数の説明がちょっと分かりませんでした．
＞もしできれば，再度(c_n) という記号の意味を教えていただければ幸いです．

　c_nを説明もなしに使ってしまい、済みませんでした。
　c_n（nはcの下付き添え字)は、x(t)をテイラー展開したときのt^nの係数を数列cのn番目というように数列的に表したものです。テイラー展開を省略せずに記述すると次のようになります。
　　x(t)＝[n=0→∞]Σ c_n t^n
　ここで、さきほどANo.1でt^nについて成り立つことを示した式を使って、x(t)でも成り立つことを示してみます。
　ANo.1の考察より、
　　exp[(s-t)D]t^n＝s^n　　・・・・・☆
　この式の両辺にc_nをかけて、nを0からの無限級数を取って式変形していくと、
　　[n=0→∞]Σ exp[(s-t)D]c_n t^n ＝[n=0→∞]Σ c_n s^n
　⇔exp[(s-t)D] [n=0→∞]Σ c_n t^n ＝[n=0→∞]Σ c_n s^n
　⇔exp[(s-t)D] x(t) ＝ x(s)　・・・・・・※

　これで、関数x(t)についても成り立つことが示されたと思います。

お礼

お礼がたいへん遅くなり申し訳ありませんでした．
まさにその通りだということが分かりました．

回答者様の丁寧な説明と幾度どものご親切にとても感謝しています．
ありがとうございました．

また，他の回答者様もありがとうございました．

回答No.3

nakaizu

混乱するので変数を少し変えます。
x(u)がテイラー展開可能なので、u=tでテイラー展開すると
x(t+k)=x(t)+k Dx(t)+{[k^2*D^2]/2!}*x(t)+・・・・
となります。
この式にk=s-t を代入したものと同じなので式がなりたちます。
なお、テイラー展開が可能なものを解析的関数といいます。

補足

再度，お二人ともありがとうございます．
今週時間がないので出来次第，個別にまたお礼を改めてさせていただきます．
ありがとうございました．
英語の訳出はその通りでございます．

テーラー展開可能ならば，（実）解析的な関数というのですね？
実とはどういう意味かわかりませんが．

回答No.2

Mr_Holland

＃1です。
お礼＆補足を拝見しました。ありがとうございます。

＞確かにそのように考えることができそうですが，この方法で直接に(厳密に)導出できませんでしょうか？

　対象としている関数x(t)に何も条件が付されていなければ、この方法では無理でしょう。他の方法を考えなければなりません。
　逆に、関数に(実)解析的との条件が付されていれば、厳密に解いたことになると思います。問題（あるいは教科書などに)そのような記述があるといいのですが。というのは、与えれた題意からはx(t)は無限回連続微分可能であることが読み取れるのですが、テイラー展開したときの剰余項が0に収束することは読み取ることができません。もし(実)解析的との条件があれば、この剰余項が0に収束することを意味するので、テイラー展開可能であることが保証されるからです。

　対象とする関数に何の条件も付されていなかったとしたら、私ではお手上げですので、他の専門の方のレスを待つことにしましょう。

お礼

再度，どうもありがとうございます．
残念ながらそのような実解析的という記述は見当たりませんでした．
しかし，ちゃんと下記の説明を読ませていただいています．

(c_n) t^nの級数の説明がちょっと分かりませんでした．
もしできれば，再度(c_n) という記号の意味を教えていただければ幸いです．

補足

再び説明を追加します．
実解析的という記述はありませんでしたが，

x(t)has a convergent Tayler's series expantion.

と書いてありました．

回答No.1

Mr_Holland

次のように考えてはいかがでしょうか。
　x(t)はテーラー展開可能として必ず(c_n) t^nの級数で表されるとします。
　このとき、過程を簡略化するため、x(t)=t^nとします。（テーラー展開可能だとすれば、このようにおいて成り立つことがいえれば、元の関数x(t)でも成り立つことになります。）
　k階微分の項を見ますと、
　　(s-t)^k /k! D^k x(t)＝n!/{k!(n-k)!} (s-t)^k t^(n-k)
　　　　　　　　　　　　＝n_C_k (s-t)^k t^(n-k)　・・・・　k≦nのとき
＝０　　　　　　　　　　　・・・・　k＞nのとき
　　ただし、n_C_kはコンビネーションを表す。
　したがって、問題の式の左辺は、k=0から∞で見たときの級数になっているので、
　　(左辺)＝[k=0→n]Σ n_C_k (s-t)^k t^(n-k)＋0
となるが、この式の右辺は二項定理から、次のようになる。
　　(左辺)＝{(s-t)+t}^n＝s^n＝x(s)＝(右辺)

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BA%8C%E9%A0%85%E5%AE%9A%E7%90%86

お礼

ありがとうございました．

補足で書いたように，式のカッコが間違っていました．すいません．
それを見ますと，
ｘはテーラー展開をするのではなく，exp[(s-t)D]のテーラー展開に
ｘ（ｔ）をただかけているだけです．

確かにそのように考えることができそうですが，
この方法で直接に(厳密に)導出できませんでしょうか？

補足

そうそう，回答ありがとうございました．
あとで，じっくり読ませて頂きます．

ちょっと質問の括弧の位置が間違えてしまったので
補足させていただきます．すいません．

exp[(s-t)Dx(t)]=x(t)+(s-t)Dx(t)+{[(s-t)^2*D^2]/2!}*x(t)+・・・・
∴　=x(t+s-t)＝x(ｓ）　←ここのx(t+s-t)になるのが分かりません．
の箇所で，

exp[(s-t)D]* x(t)=右辺は同じ．