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微分について
こんにちは。 一つ質問させて頂きます。 微分についてなんですが、 dx/d(dx/dt)はどのように計算したらよいのでしょうか? 言葉で表現すると ≪x≫を≪xを時間tで微分したもの≫で微分したいのですが。 よろしくお願いします。
- takkioioio
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dx/d(dx/dt) = (dx/dt) * dt/d(dx/dt) = (dx/dt) / (d(dx/dt)/dt) = (dx/dt) / (d^2x/dt^2)
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- Knotopolog
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結論から言うと#1さんと#3さんで良いと思います. 与式:dx/d(dx/dt)を見ますと,t を独立変数,x は t の関数と考えられます.つまり,x=x(t) です. そこで与式に対して,(dx/dt)=z, (z=z(t))とおくと,与式は,dx/dz と書けます. (dx/dt)=z から dx=z・dt なので,与式は, (dx/dz)=(z・dt/dz)=z・(dt/dz)=(dx/dt)・(dt/dz)=(dx/dt)/(dz/dt) と計算できます. (dz/dt)は,(dx/dt)=z の両辺を t で微分すると得られますから, (dz/dt)=(d^2x/dt^2) です.よって, 与式は,dx/d(dx/dt)=(dx/dt)/(dz/dt)=(dx/dt)/(d^2x/dt^2)となります. この計算の場合は,t を独立変数,x と z を t の関数と考えて行われています.この結果を言葉で表現するならば,さしずめ, 「x を t で微分した量を,x を t で二回微分した量で除す」と言うことになりましょう.
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遅くなりましたが、ありがとうございました。
- orcus0930
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dy/dxは分数のように考えていいので、 dx/d(dx/dt)の分子分母をdtで割って(厳密にはこう言わないと思います) (dx/dt)/(d(dx/dt)/dt)=(dx/dt)/(d^2x/dt^2)=(速度)/(加速度)のような感じではないでしょうか
お礼
遅くなりましたが、ありがとうございました。
- sanori
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こんばんは。 ある関数の微分が dy/dz であれば、 その逆関数の微分は dz/dy です。 つまり、 dx/d(dx/dt) の逆関数の微分は、 d(dx/dt)/dx です。 たとえば、 x = t^2 + 2t だとしましょう。 すると、 dx/dt = 2t+2 です。 逆関数の微分は、 d(dx/dt)/dx = d(2t+2)/dx = 2dt/dx + 0 = 2dt/dx よって、 dx/d(dx/dt) = 1/2・dx/dt ( = 1/2(2t+2) = t+2 ) こんな感じです。 計算に自信がないので、どこか間違えていたら、ごめんなさい。
お礼
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