微分の微分

質問

微分の微分は、
d^2y/dx^2=(dy'/dt)/(dx'/dt)=y''/x'
と習ったのですが、
どうして
y'' を x'で割らなければいけないのですか？
y''を求めるのだから、y'をもう一度微分すればいいのに、
と思うのですが。。。

例えば、x= sin t
y=t^2+7t+3 があります。
dy/dx(←実はこれもなん式なのかよく分かっていませんが、、、)は、
y'/x'= (2t+7)/cos t ですよね。
それで、さらに、それを微分したいのですが、
その時に、私は
{(2t+7)'*cost－(2t+7)*(cost)'}／(cost)^2
だけで良いと思うのに、本当はそれを x'で割るのですよね。
それで、答えは
{2cost+(2t+7)(sint)}/(cost)^3 としなければいけないのが
不思議でたまりません。

解説を宜しくお願いします。

回答No.8

starflora · ベストアンサー

すでに多くの方の回答がありますが、基本的なことの指摘がないように思いますので、あえて回答させていただきます。

　　＞微分の微分は、
　　＞d^2y/dx^2=(dy'/dt)/(dx'/dt)=y''/x'
　　＞と習ったのですが

　　それは、記憶違いで、そんな公式はありません。「ない公式」を使って計算すると変な結果が出てくるのは当然ですし、納得行かないことが起こるのも当然です。幸い、微分についてはご存じのようですから、記号の定義を、もう一度確認すれば、疑問は氷解します。

　　ｘの関数ｙを、ｘで微分するのを、記号で、dy/dx と書きます。
　　ｘの関数ｙの微分（＝dy/dx）を、更にｘで微分する場合は、d(dy/dx)/dx となるのですが、これを、簡単な記号で、d^2y/dx^2 と書きます。「^2」が付いている位置に注意してください。こういう感じで、記号としては：

　　ｘの関数ｙを、ｘで微分する　→　dy/dx
　　ｘの関数ｙを、ｘで二回微分する　→　d^2y/dx^2
　　ｘの関数ｙを、ｘで三回微分する　→　d^3y/dx^3
　　……

　　こういう風に記号で表します。こういう記号を使うのは、合理的理由があるのですが、それはとまれです。

　　ところで、「何で微分するか」が、筆者にも読者にも、明らかである場合は、上の記号で示した微分を、左上のダッシュの数で示します。つまり、y' y'', y''' などです。しかし、これは、微分するのが、ｘとか決まっている場合にのみ使います。物理では、普通、時間ｔで微分する時、この省略記号を使います。それ以外の変数の場合は、混乱が起こるので、dy/dt を y' などで表す以外、普通、使用しません。まさに、混乱が起こるからです。

-------------------------

　　どうもおかしい気分なので、最初の誤りだという公式について考えてみます。

　　d^2y/dx^2 = d[(dy/dt)/(dx/dt)]/dx
　　この式を変形して
　　＝ {d[(dy/dt)/(dx/dt)]/dt}{dt/dx}
　　＝ {d[(dy/dt)/(dx/dt)]/dt}/{dx/dt}

　　これは、ｙとｘが何かのパラメータ変数（例えばｔ）で規定されている時の、ｔによる二階微分の解法の式です。その意味では「誤り」ではないのですが、最初に提示されている公式は：

　　d^2y/dx^2=(dy'/dt)/(dx'/dt)=y''/x'　です。

　　しかし、これは、dy'/dt＝y'' のはずで、そうなら、dx'/dt＝x''　で、だから誤りだと述べたのです。
　　y'=dy/dt=2t+7　→　y''=dy'/dt=2
　　x'=dx/dt=cos t　→　x''=dx'/dt= -sin t
　　これは、どう考えても正解はでません。

　　従って、記憶違いで、そんな公式は「ない」と述べたのです。計算間違いの問題ではありません。

　　＞ d^2y/dx^2=(dy'/dt)/(dx'/dt)=y''/x'

　　こんな公式がおかしいのです。

回答No.7

nuubou

記号ばっかりでいまいちつかめないので、良かったら例題をお願いしたいのですが・・・。：

既にＮｏ．３で証明したように
ｘ’＝ｄｘ／ｄｔ，ｘ”＝ｄｘ’／ｄｔ，ｙ’＝ｄｙ／ｄｔ，ｙ”＝ｄｙ’／ｄｔとすると
ｄｙ／ｄｘ＝ｙ’／ｘ’，（ｄ／ｄｘ）＾２・ｙ＝（ｙ”・ｘ’－ｙ’・ｘ”）／ｘ’＾３

ｘ＝ｓｉｎ（ｔ）かつｙ＝ｔ＾２＋７・ｔ＋３の場合
ｘ’＝ｃｏｓ（ｔ），ｘ”＝－ｓｉｎ（ｔ），ｙ’＝２・ｔ＋７，ｙ”＝２

従って
ｄｙ／ｄｘ＝ｙ’／ｘ’＝（２・ｔ＋７）／ｃｏｓ（ｔ），
（ｄ／ｄｘ）＾２・ｙ＝（ｙ”・ｘ’－ｙ’・ｘ”）／ｘ’＾３
＝（２・ｃｏｓ（ｔ）＋（２・ｔ＋７）・ｓｉｎ（ｔ））／（ｃｏｓ（ｔ））＾３

回答No.6

nuubou

ｈｕｇｙさんの件で

（１）y(t)''
（２）=d^2{y(t)}/d{x(t)}^2
（３）=d{y'(t)}/dx(t)
（４）=d{y'(t)}/dt÷dx(t)/dt　　　　　←先ほどの式を代入
（５）=y''/x'

（１）→（２）においてはｙ”＝（ｄ／ｄｘ）＾２・ｙであり
（２）→（３）ではｙ’＝（ｄ／ｄｘ）・ｙであり
しかし
（４）→（５）ではｙ”＝（ｄ／ｄｔ）・ｙ’である
（これはｙ”＝（ｄ／ｄｔ）・（ｄ／ｄｘ）・ｙのことかな？）

「’はｔによる１階微分、”はｔによる２階微分」あるいは
「’はｘによる１階微分、”はｘによる２階微分」のどちらかにしないと混乱します

回答No.5

hugy

>高校生ではないです。
つい、"家て教"の悪い癖です。(^^;A
失礼しました。m(__)m

本当は先生方がすでに回答済みで、私のような学部生のでしゃばる幕はないのですが、お詫びをかねたつもりです。具体例は回答なさられているので、一般例を・・・・
yをy(t)と、そしてxをx(t)と、それぞれｔについての関数だと思ってください。y'(t)=dy/dt;x'(t)=dx/dt。これはすでに前の先生方が述べているので、そちらをご参照ください。ここからです。
y(t)''
=d^2{y(t)}/d{x(t)}^2
=d{y'(t)}/dx(t)
=d{y'(t)}/dt÷dx(t)/dt　　　　　←先ほどの式を代入
=y''/x'
以上　敬具

回答No.4

mickel131

まさにポイントは、あなたのおっしゃている不明点、
「dy/dx(←実はこれもなん式なのかよく分かっていませんが」
ここにあります。
文字がｘとｙの２文字だけなら、ｙ’とかｙ’’の記号で十分ですが、
３つ目の変数が出てきたら、dy/dxのような表記をしないと混同が起きることがあります。
dy/dx　は　yをxの関数と見て微分する、dy/dt　は　yをtの関数と見て微分する、
という意味です。
例えば、y=x^3+2x, y=t^4-3t の場合、
dy/dx=3x^2+2 , dy/dt= 4t^3-3
となるわけです。y'といった場合、このどちらを指して言っているのか、はっきり
しないといけません。
ここからは、あなたの挙げられた例に沿って説明します。
x= sin t , y=t^2+7t+3 の場合、
「y'/x'= (2t+7)/cos t ですよね。」
そのとおりです。ただし、ここのy'は dy/dt　(yをｔの関数と見て微分したもの)
、x'　は dx/dt (xをtの関数と見て微分したもの）です。
このyをxの関数として微分したものは、
ｄｙ/ｄｘ＝（dy/dt)÷（dx/dt)＝（y')÷（x')
ということで、　(2t+7)/cos t となるわけです。

「それで、さらに、それを微分したいのですが、」
これをxで微分したものを求めるということですね。

「その時に、私は
{(2t+7)'*cost－(2t+7)*(cost)'}／(cost)^2
だけで良いと思うのに、」

これは、上の式をtで微分したものです。xで微分したものではありません。
xで微分したものを求めるには、
ｄ/ｄx(ｄｙ/ｄｘ)＝ｄ/ｄx(　(2t+7)/cos t　）
　　　 　　＝ｄ/ｄｔ　・　ｄｔ/ｄｘ　(　(2t+7)/cos t　）
　　　　　 ＝ ｄ/ｄｔ(　(2t+7)/cos t　）・　ｄｔ/ｄｘ　
　　　　　＝[{(2t+7)'*cost－(2t+7)*(cost)'}／(cost)^2 ]・ｄｔ/ｄｘ　
＝[{(2t+7)'*cost－(2t+7)*(cost)'}／(cost)^2 ]÷ｄｘ/ｄｔ
このようにして、「x'で割る」必要があるわけです。

これからは、ｙ’という記号は　dy/dxに対して使い、　dy/dt　には使わないようにされることをお勧めします。

補足

あぁ～！なるほど！
dy/dtっていうのは、yをtの関数と見て微分するということなのですね！
で、dy/dxはyをの関数と見て微分する、、、！

でもちょっと分からないのがd^2y/dx^2の記号の意味です。

回答No.3

stomachman

●y'という表記が混乱の元と思われます。
y' = dy/dt
という意味でお使いですね。右辺は何を意味しておるかと言えば「tをちょびっと変えたとき、yがどれ程変わるか。」に他なりません。ただし、この「tをちょびっと」の加減によってyの変化が違うので、yの変化はtの変化の何倍であるか、という比で表そう。これがdy/dtということです。
　yがtと無縁のものなら、tが変わろうとyが付き合って変わることはありません。この場合は変わる。ですから正確には、yは「変数」というよりも、「tによって値が決まる関数である。」と考えるべきです。つまり
y(t) = t^2+7t+3
という風に書く方がはっきりします。
　さて、tの値が幾らであるかによって(dy/dt)の値も違う（tを「幾ら」からチョビッと動かすかによって、yの変化は違う）ので、(dy/dt)はそれ自身、tに依存して値がきまる関数である。
(dy/dt)(t)
と書くとはっきりします。このことを強調したい場合、「微分」と言わず「導関数」と呼ぶのでした。
　でもこんな書き方はめんどくさいので yt(t) （このyの直後にあるtは小さい文字を下の方に添えて書く）という書き方も使います。何で微分するか（この場合t）がもう決まり切ってる場合には、さらに手抜きして、
y'(t) = (dy/dt)(t)
と書いてしまうわけです。だから ' ってのは「tによる微分」という意味であって、「単なる微分」ではない。必ず「何か」による微分であって、「単なる微分」なんてものはそもそもないのです。（ここがポイント！）

　これとは別に、もう一つ関数があって、
x(t) = sin t
である。
dx/dt = cos t
というのは、既に述べたように「tをちょびっと変えたとき、xがどれ程変わるか、を比で表したもの」です。

●さて、ご質問の問題に入る前に、次の微分を考えてみましょう。
dy/dx
こりゃどういうことでしょうか。y(t)の右辺にxなど出てこないから、両者は無縁？そうではないです。共通のtというものを介して相互に関係しているわけですね。
　dy/dxとは、「xがちょびっと変わるようにtをちょびっと変えたとき、その同じtの変化に対応してyがどれだけ変わるか、をxの変化に対するyの変化の比で表したもの」です。これはつまり「tをちょびっと動かしたとき、yがどれだけ変わるか」と「tをちょびっと動かしたとき、xがどれだけ変わるか」との比、と考えることもできる。だからこそ
dy/dx = (dy/dt) / (dx/dt)
が成り立ちます。
　さて
dy/dx= (2t+7)/cos t
という風に右辺をtで表すと、
(dy/dx) (t) = (2t+7)/cos t
という意味ですね。これをｔで微分したものはtをちょびっと動かしたとき、(dy/dx) がどれだけ変わるか、ということを表しています。
　もし(dy/dx) の右辺をtを使わずに書いておけば、
(dy/dx) (x) =(2arcsin(x)+7)/cos(arcsin x)
ということになり、これはxの関数であり、これをxで微分したものはxをちょびっと動かしたとき、(dy/dx) がどれだけ変わるか、ということを表しています。

●んではご質問の話に入りましょう。
d^2y/dx^2
こりゃあ何でしょうか。(dy/dx)(t)という関数をさらにxで微分したいわけです。だから
g(t) =(2t+7)/cos t
と書くことにして、yのことは忘れて良し。そうすれば「g(t)をxで微分したい」、とこう言ってるのと同じですから、
dg/dx = (dg/dt)/(dx/dt)
かくて
d^2y/dx^2
= dg/dx
= (dg/dt)/(dx/dt)
=(d(dy/dx)/dt) /(dx/dt)
=(d((dy/dt) / (dx/dt))/dt) /(dx/dt)
ということに相成ります。

●最後に、nahさんがどこでチョンボしたかチェックしてみましょう。ご質問の中の
> dy/dx(←実はこれもなん式なのかよく分かっていませんが、、、)は、
> y'/x'= (2t+7)/cos t ですよね。

はい。こいつがg(t)ですね。

> それで、さらに、それを微分したいのですが、
> その時に、私は
> {(2t+7)'*cost－(2t+7)*(cost)'}／(cost)^2
> だけで良いと思う

この「それ(g)を微分したい」が失敗です。「それ(g)をtで微分したい」のなら、
dg/dt = d(dy/dx)/dt = {(2t+7)'*cost－(2t+7)*(cost)'}／(cost)^2
で大正解。でも
d^2y/dx^2
をやれ、というのですから求めるのは「それ(g)をxで微分したい」なんですね。ゆえに
(dg/dt)/(dx/dt)
をやらなくちゃいけない。

補足

私の場合は「g(t)をxではなく、tで微分」しただけだったってことですよね？

あと、それから、
d^2y/dx^2
= dg/dx
= (dg/dt)/(dx/dt)
=(d(dy/dx)/dt) /(dx/dt)、ここからの分母が何を現しているのかが
良く分かりません。。。
補足、出来たら宜しくお願いします。

回答No.2

nuubou

ｘ’＝ｄｘ／ｄｔ，ｘ”＝ｄｘ’／ｄｔ，ｙ’＝ｄｙ／ｄｔ，ｙ”＝ｄｙ’／ｄｔとする
ｄ／ｄｘ＝（ｄ／ｄｔ）／（ｄｘ／ｄｔ）であるから
ｄｙ／ｄｘ＝（ｄｙ／ｄｔ）／（ｄｘ／ｄｔ）＝ｙ’／ｘ’である
ｄ／ｄｘ＝（ｄ／ｄｔ）／（ｄｘ／ｄｔ）とｄｙ／ｄｘ＝ｙ’／ｘ’とから
（ｄ／ｄｘ）＾２・ｙ＝
（ｄ／ｄｘ）・（ｄ／ｄｘ）・ｙ＝
（ｄ／ｄｘ）・（ｄｙ／ｄｘ）＝
（ｄ／ｄｘ）・（ｙ’／ｘ’）＝
（ｄ／ｄｔ）／（ｄｘ／ｄｔ）・（ｙ’／ｘ’）＝
（ｄ（ｙ’／ｘ’）／ｄｔ）／（ｄｘ／ｄｔ）＝
（ｄ（ｙ’／ｘ’）／ｄｔ）／ｘ’＝
（（ｙ”・ｘ’－ｙ’・ｘ”）／ｘ’＾２）／ｘ’＝
（ｙ”・ｘ’－ｙ’・ｘ”）／ｘ’＾３
従って（ｄ／ｄｘ）＾２・ｙ＝ｙ”／ｘ’ではないのです

補足

記号ばっかりでいまいちつかめないので、良かったら例題をお願いしたいのですが・・・。

回答No.1

hugy

まず、あなたの知識レベル（高校生かな？）が分からないから、説明は難しいと思います。
とりあえず、積分はご存知ですか？微分と積分の定義が分かればそのような
疑問もなくなると思いますので、下のURLでも一読をお勧めします。

参考URL：

http://infoshako.sk.tsukuba.ac.jp/~hamada80/math/math13.html

補足

高校生ではないです。高校では数学(1)Aと(2)Bを取りました。積分、聞いたことあるけど、記憶にあまり残っていません。