微分の計算順番について

質問

dx/dt = 1-cost
dy/dt = sint
dy/dx = (dy/dt)/(dx/dt) = sint/(1-cost)

の時に (d^2)y/dx^2 を求めたいのですが、
(d^2)y/dx^2 = (d/dx)(dy/dx) = (dt/dx)(d/dt)(dy/dx) = {1/(1-cost)}(d/dt){sint/(1-cost)} と計算していった時と、
(d^2)y/dx^2 = (d/dx)(dy/dx) = (d/dt)(dt/dx)(dy/dx) = (d/dt){1/(1-cost)}{sint/(1-cost)}
= (d/dt){sint/(1-cost)^2}

と計算していった場合で答えが違いました。
tで微分する順番が関係あるのでしょうか。
よろしくお願い致します。

回答No.2

alice_44 · ベストアンサー

(d^2)y/dx^2 = (d/dx)(dy/dx) = (dt/dx)(d/dt)(dy/dx) が正解で、
(d^2)y/dx^2 = (d/dx)(dy/dx) = (d/dt)(dt/dx)(dy/dx) は間違い。
t で微分する順番が関係あるのです。

(d/dx)(dy/dx) = (dt/dx)(d/dt)(dy/dx) の d/dx や d/dt は、
掛け算してあるのではなく、その右側の式を微分することを表してます。
だから、式中の位置には意味が有って、やたらには変えられません。

(d/dx){ dy/dx } = (dt/dx)・(d/dt){ dy/dx }
(d/dx){ dy/dx } ≠ (d/dt){ (dt/dx)・(dy/dx) }
と書いたら、(d/dx){ } の { } の中へ dt/dx が入っていけない状況が
理解できるでしょうか？

お礼

理解できました。ありがとうございました！

補足

ご回答ありがとうございます。
重ねてお伺いしますが、
(dt/dx)・(d/dt){ dy/dx }
はdy/dxをtで微分した式にdt/dxをかけたもの。

(d/dt){ (dt/dx)・(dy/dx) }
は(dt/dx)と(dy/dx)をかけた式をtで微分したもの

とこの理解でよろしいでしょうか。

また、その場合(d/dx){ dy/dx } = (dt/dx)・(d/dt){ dy/dx }
の方が正解になるのはなぜでしょうか。

回答No.3

Tacosan

その疑問, dy/dx を求めるときには感じなかったのですか?

dy/dx = (d/dx)y = (dt/dx)(d/dt)y
と計算したときと
dy/dx = (d/dx)y = (d/dt)(dt/dx)y
と計算したときとでは答えが違いますよ.

お礼

分かりました。ありがとうございました。

回答No.1

Tacosan

dy/dx を求めるときには疑問に思わなかったんでしょうか?