微分と偏微分の問題です

質問

次の問題が与えられています。

x=a*sin^3t , y=a*cos^3tのとき、dy/dx,d^2y/dx^2、∂y/∂x,∂^2y/∂x^2を求めよ。

まず、微分の方なのですが、xとyをtで微分し、そこから式を進めて、

dy/dx =-1/(sin^2 t)　が求まりました。

そして、
d^2y/dx^2 = - 1/3a*cost が求まりました。

これについて、まず、本当に正しいのかを添削してください。
間違っていましたら、ご解説をお願いします。

そして、偏微分についてですが、これはどのように回答していのが正しいのでしょうか。
「偏微分は微分と同じ答えになるので……」と、簡単に書いてしまって良いモノか悩んでいます。

以上、よろしくお願いします。

回答No.2

yyssaa · ベストアンサー

対補足
結果、1/(3*asin^3t*cost)になりました。
dy/dx = -1/tant を微分して、1/sint になるので、
＞1/sin^2tです。
(d/dt)(dy/dx)(dt/dx)を解いての結果です。
これであっているでしょうか？
＞1/(3*asin^4t*cost)です。

＞dy/dx=-1/tant=-cost/sintだから
d(dy/dx)/dt=(sin^2t+cos^2t)/sin^2t=1/sin^2t
d^2y/dx^2=d(dy/dx)/dx=(d(dy/dx)/dt)(dt/dx)
=(d(dy/dx)/dt)/(dx/dt)=(1/sin^2t)/(dx/dt)
dx/dt=3asin^2tcostだから
d^2y/dx^2=(1/sin^2t)/(dx/dt)
=(1/sin^2t)/(3asin^2tcost)=1/(3asin^4tcost)

お礼

分かりました！
ありがとうございます。

回答No.1

yyssaa

＞まずdy/dx=(dy/dt)/(dx/dt)=-3a*cos^2tsint/(3a*sin^2tcost)
=-cost/sint=-1/tant

補足

結果、1/(3*asin^3t*cost)になりました。
dy/dx = -1/tant を微分して、1/sint になるので、
(d/dt)(dy/dx)(dt/dx)を解いての結果です。
これであっているでしょうか？