パラメーター表示による微分の問題

質問

問題：曲線C：ｘ＝cos（ｔ）＋ｔsin（ｔ）、ｙ＝sin（ｔ）－ｔcos（ｔ）に対して、
(1)　dy/dxをtの式で表せ。
(2)　d^2y/dx^2をｔの式で表せ。

(1)はわかるのですが(2)でわからないところがあります。
多分正答はdx/dt、dy/dtを求めたあとdy/dxを求め
d^2y/dx^2＝d/dt(dy/dx)（dt/dx）という形で解くのだとおもいますが、
d^2y/dt^2を求めたあと
d^2y/dx^2＝（d^2y/dt^2）（dt/dx）＾２と変形して解くと違う解がでてきます。

どうして違う解がでてくろのでしょうか？
（ｄｘ）^2≠ｄｘ＾２だからですか？
でも　d^2y/dx^2＝d/dx（dy/dx）という変形ができるから、（ｄｘ）^2＝ｄｘ＾２だと思います。

だれかアドバイスください。

後、友達が　∫d(dy/dx)^2＝∫(dy/dx)d(dy/dx)＝(1/2)(dy/dx)^2+C
という積分をしていたのですが、こういう積分もありなんですか？
(Cは積分定数）

回答No.3

arrysthmia · ベストアンサー

d^2y/dx^2 = (d/dx)(dy/dx) = { (d/dt)(dy/dx) } (dt/dx)
が正解です。単純な、合成関数の微分です。

d^2y/dx^2 = (d^2y/dt^2) (dt/dx)^2
という式は、どこから思いついたんだかよく分かりませんが、
間違っています。

d^2y/dx^2 = { (d/dt)(dy/dx) } (dt/dx)
= { (d/dt)(dy/dt)(dt/dx) } (dt/dx)
= { (d^2y/dt^2)(dt/dx) + (dy/dt)・(d/dt)(dt/dx) } (dt/dx)
= (d^2y/dt^2)(dt/dx)^2 + (dy/dx)・(d/dt)(dt/dx)
ですから、
積の微分公式から出てくる第二項を無視したことになります。

∫d(dy/dx)^2 = ∫(dy/dx)d(dy/dx) = (1/2)(dy/dx)^2 + C
もダメそうですね。
微積分学の基本定理(積分は微分の逆だという例のアレ)により、
∫d(dy/dx)^2 = (dy/dx)^2 + C
です。

∫d(dy/dx)^2 = ∫(dy/dx)d(dy/dx)
の部分が、これも意味不明の変形で、
何を勘違いしてこのようにしてみたのだか、よく分かりません。

お礼

＞　d^2y/dx^2 = { (d/dt)(dy/dx) } (dt/dx)
= { (d/dt)(dy/dt)(dt/dx) } (dt/dx)
= { (d^2y/dt^2)(dt/dx) + (dy/dt)・(d/dt)(dt/dx) } (dt/dx)
= (d^2y/dt^2)(dt/dx)^2 + (dy/dx)・(d/dt)(dt/dx)

この式は大変参考になりました。疑問が解けました。

回答No.2

info22

>d^2y/dx^2＝d/dt(dy/dx)（dt/dx）という形で解くのだとおもいますが、

dy/dx=(dy/dt)/(dx/dt)=f(t)とおくと
d^2y/dx^2=d(dy/dx)/dx
=d(f(t))/dx=(d(f(t))/dt)/(dx/dt)
=(d(dy/dx)/dt)/(dx/dt)
となります。

>どうして違う解がでてくるのでしょうか？
d^2y/dx^2＝（d^2y/dt^2）（dt/dx）＾２
これは微分を正しく理解していない人のでたらめな式です。
正しくない式で計算したら間違った結果がでてくるのは
当然です。
>d^2y/dx^2＝d/dx（dy/dx）という変形ができるから
この式中の dy/dx は　ｔの関数であることを理解していれば
d/dx（dy/dx）
といった微分はありえません。
tの関数f(t)（=dy/dx)をxで微分することができないことはわかるでしょう。

>友達が　∫d(dy/dx)^2＝∫(dy/dx)d(dy/dx)＝(1/2)(dy/dx)^2+C
>という積分をしていたのですが、こういう積分もありなんですか？
式が少し間違っているね。

y=g(x)という関係か、y=g(t),x=h(t)という関係かを明確にした上で質問して下さい。

前者（yがxの関数)なら
d(X^2)=2XdX　において
X=dy/dx=g(x)とおけば
∫d((dy/dx)^2)=∫d(X^2)=∫2XdX=X^2+C=(dy/dx)^2+C
となりますね。

お分かりですか？

お礼

適確な回答でとてもよくわかりました。ありがとうがざいます。

＞y=g(x)という関係か、y=g(t),x=h(t)という関係かを明確にした上で質問して下さい。

すいません。説明不足でした。

回答No.1

Chaos9HEAd

d^2y/dx^2＝d/dt（dt/dx）・(dy/dx)（dt/dx）
ではありませんか？

お礼

さっそくの回答ありがとうございます。
でもこの式はまちがっているのでは？