初等微分 速度の問題

質問

次の問題について、正答を教えて下さい。

5mの梯子を壁に垂直に立てかけている。
この梯子が地面に沿って毎秒90cmずつずれる時、地面から壁に立てかけた上端までの長さが3mになった時の、梯子の上端の速度を求めよ。なお、梯子の厚みは考えない。

・私の考え
梯子本体の長さは5m。これが地面に沿ってずれるのだから、「梯子の下端と壁面までの地面の長さ」をy、「地面から壁に立てかけた上端までの長さ」をxとおくと、梯子、x、yが直角三角形を作る。
x^2+y^2=25…(1)
x,yは毎秒変化するから、時間tの関数であるとみなす。この時、梯子の下端の速度は|dy/dt|、梯子の下端の速度は|dx/dt|と書けるから、本題では|dx/dt|を求めればよい。

(1)の両辺をtで微分して、(d/dt)・x^2+(d/dt)・y^2=0
変形して、(dx/dt)・x+(dy/dt)・y=0
(dy/dt)=0.9より、(dx/dt)=| -0.9y/x |　…(2)
(1)にx=3を代入して、y=4。(2)に代入すると、
(dx/dt)=| -3.6/3 |
従って、上端の速度は、地面に向かって毎秒1.2m。

回答No.1

naniwacchi · ベストアンサー

こんばんわ。
よくできていますよ。＾＾

絶対値はつけないままで計算したほうがいいですね。
というよりも、dx/dtはあくまでも　-y/x* dy/dt＝ -0.9* y/xですね。

負号は「減少する」ということを表しているので、
xは時間とともに減少するということをキチンと表してくれています。

最近あった似たような問題を参考URLに載せておきます。

参考URL：

http://okwave.jp/qa/q7989824.html

お礼

ありがとうございます。