速度

質問

曲線x=f(t),y=g(t)上を動く点Ｐの速度の大きさは、v=√(dx/dt)^2+(dy/dt)^2で表されますが、曲線の方程式がy=f(x)で表されている場合はどうやって速さを求めるのでしょうか？？？？x=t,y=f(t)とおいて、v=√1+(dy/dx)^2としてもよいのでしょうか？？？？

回答No.3

kkkk2222 · ベストアンサー

ちょっと勘違いされてるようです。

言葉ですが、＜速度の大きさ＞を＜速さ＞定義されています。（蛇足）

まず直線上ですと、
ｘ＝ｆ（ｔ）は位置
時間ｔで微分すると
ｘ’＝ｆ’（ｔ）が速度
ｘ’’＝ｆ’’（ｔ）が加速度
つまり位置・速度・加速度は時間の函数です。

平面の場合は

x=f(t),y=g(t)で表され
ｘ’＝dx/dt
ｙ’＝dy/dt　　このふたつがＰＡＩＲで速度です。
速さは、ご記述のように√(dx/dt)^2+(dy/dt)^2

x=f(t),y=g(t)からｔを消去して、y=f(x)または　ｆ（ｘ、ｙ）＝０に表せる＜かもしれません＞
速度も、ｔを消去して、陽函数・陰函数に表せる＜かもしれません＞

しかし一旦消去してしまうと、もとにはもどれなくなります。

例えば

ｘ＝cost,　y=sint　のとき
ｘ＾２＋ｙ＾２＝１ですが、

逆に　ｘ＝cost,　y=sint　
√(dx/dt)^2+(dy/dt)^2＝１　とあらわせますが

ｘ＝cos２t,　y=sin２t　ともあらわせます。
√(dx/dt)^2+(dy/dt)^2　を計算すると、＝２　となってしまいます。

換言すると
一様には表現できなくなり、ＰＡＲＡＭＥＴＥＲ　ｔ　の　取り方によって、色んな函数になり、結果　速度＆速さは異なる値（函数）をとる事になりますので、通常はこの操作は行わない、と思います。

ただし、ある条件がＧＩＶＥＮのときはその条件にあうようにＰＡＲＡＭＥＴＥＲ　ｔ　を取ることは充分考えられます。

回答No.2

age_momo

>x=f(t),y=g(t)上を動く点Ｐの速度の大きさは、v=√(dx/dt)^2+(dy/dt)^2で表されます

ある時間においての居場所が決められていますから速度を求めることができます。
一方、

>y=f(x)で表されている場合はどうやって速さを求めるのでしょうか？

いわば通り道が示されているだけです。速度の求めようがありません。

>x=t,y=f(t)とおいて、v=√1+(dy/dx)^2としてもよいのでしょうか？

もし、時間の経過に伴って動点がx座標を等しく動いていくという情報があるならこれで
いいです。元々のy=f(x)には時間のfactorが入っていませんから速度を求めるのは
無理です。
再度書きますが、y=f(x)はいわば道です。道があってもそこをどう動くかの
情報がないと速度は決めようが有りません。

回答No.1

ht1914

それぞれの変数の意味を考えてみて下さい。速度といっているのですから物理的な現象です。単に数学的な個性のない変数ではないのです。
ｘ＝ｆ（ｔ）、ｙ＝ｇ（ｔ）は時間と共に平面上の位置が変化することを表しています。だからそれぞれの時間に対する変化率を求めれば速度のｘ成分、ｙ成分が求まっているのです。その運動の結果平面上に軌跡が残ります。それがｙ＝Ｆ（ｘ）です。軌跡を見ても速さは復元できません。既に情報は落ちています。軌跡上の距離ｓが時間と共にどのように変わるかが示されているのでしたら可能ですが。
極端な話少し運動してしばらくじっと止まっていたとしても軌跡は変化しません。一つの軌跡の上をどの様に運動するかはいくらでも可能性があります。