微分の応用

質問

以下の問題の解説が理解できません。
微分ってそもそも何？というところがわかっていないのだと思っています。“物理”の感覚に近い問題ですがよろしくお願い致します。

【問題】
水面から４ｍの高さの岸壁のくいと、水面上の船が綱でつながれている。この綱を毎秒１ｍの速さでたぐるとすると、綱の長さが２０ｍになったときの船の速さを求めよ。

【解説】
岸壁の下端から、船までの距離をｘｍ、岸壁の上端から船までの距離（綱の長さ）をｙｍとすると、三平方の定理から
ｘ＾２　＋　１６　＝　ｙ＾２　・・・(1)

ｘ、ｙは時刻ｔの関数であるから(1)の両辺をｔで微分して★
２ｘ（dx/dt）　＝　２ｙ（dy/dt）
従って、
（dx/dt）　＝　ｙ/ｘ　・　（dy/dt）
となり、いま（dy/dt）＝　－１なので
（dx/dt）　＝　－ｙ/ｘ

ｙ＝２０のとき、(1)よりｘ＝８√６なので
（dx/dt）　＝　－ｙ/ｘ
に代入して
（dx/dt）　＝　－５√６／１２

従って、岸壁に向かって５√６／１２ｍ／秒【答】

（★の部分が１番理解に苦しみます・・・）

回答No.2

spring135 · ベストアンサー

ｘ＾２　＋　１６　＝　ｙ＾２　・・・(1)
を満たしつつ、時間の関数としてx(t),y(t)は変化するという意味で、（１）を微分して結果を得ることは正しいということです。

表現を変えれば
求めるのはdx/dt,よってまずxは（１）より
x=(y^2-16)^0.5
これをｔで微分して
dx/dt=(y/(y^2-16)^.5)*(dy/dt)
y=20のとき・・・・
として求めるのと内容は同じなのです。

お礼

ありがとうございます!!
理解するのに時間がかかってお礼が遅れてしまいました。

spring135さん、banakonaさんの回答を読んで微分への理解が深まりました。(1)“距離を時間で微分ると速度”が基本にあって、いま知りたい（dx/dt）の値のもとになる(2)“常に距離xが式でわかっている”ということが大事なんですね。

最初は、最初の船の速度は？とか、だんだん加速するんじゃないのか？とかいろいろ考えたのですが、常に三平方の関係式が成り立つと考えたところで、そういった初速度や加速度は無視しているということですよね？

回答No.1

banakona

距離を時間ｔの関数で表したとき、ｔで微分すると速度になります。

たとえば、石ころを初速度ｖで真下に投げ下ろしたときの落下距離はｖｔ＋ｇｔ^2／２となります（ｇは重力加速度。通常は下向きをマイナスにするので全体に「－」がつきますが省略）。
これをｔで微分すると、ｖ＋ｇｔとなり、これがｔ秒後の石ころの速度になります。

本問の場合、素直に距離を表現していないのでピンと来ないかもしれませんが、同様に速度を算出できます。

お礼

ありがとうございます!!
理解するのに時間がかかってお礼が遅れてしまいました。

banakonaさん、spring135さんの回答を読んで微分への理解が深まりました。(1)“距離を時間で微分ると速度”が基本にあって、いま知りたい（dx/dt）の値のもとになる(2)“常に距離xが式でわかっている”ということが大事なんですね。

最初は、最初の船の速度は？とか、だんだん加速するんじゃないのか？とかいろいろ考えたのですが、常に三平方の関係式が成り立つと考えたところで、そういった初速度や加速度は無視しているということですよね？