積分の問題（曲線の長さ）です。

質問

『曲線 y=x^2/2 (0≦x≦1) の長さを求めよ。』という問題です。
以下のように解いてみました。
曲線の長さをSとすると，
S=∫√｛1+(dy/dx)^2｝dxなので，
S=∫[0→1]√(1+x^2)dx
x=tanθと置くと，
S=∫[0→π/4](1/cos^3θ)dθ=∫[0→π/4]｛1/(1-sin^2θ)cosθ｝dθ
さらにt=sinθと置くと，
S=∫[0→1/√2]1/(1-t^2)^2dt=∫[0→1/√2]1/(1-t)^2・(1+t)^2dt
=∫[0→1/√2]{1/2(1-t)^2+1/2(1+t)^2}dt=[1/2(1-t)-1/2(1+t)][0→1/√2]
=√2

となったんですが添削をお願いします。

回答No.3

carvelo · ベストアンサー

回答が遅くなってすみません。

>∫√(x^2+a)dx = 1/2｛√(x^2+a)+a log|x+√(x^2+a)|｝を使って解いた答えは，(1+√2)/2+log(1+√2)でいいんですか？

(1+√2)/2はどこから出てきたのでしょうか…？
公式を用いると
S=∫√｛1+(dy/dx)^2｝dx
=∫[0→1]√(1+x^2)dx
=[1/2｛√(x^2+1)+log|x+√(x^2+1)|｝][0→1]
ですよ。

＞証明は、t=x+√(x^2+a)と置いて積分してみてください。
＞というのはどこでの証明になるのでしょうか？

説明が不十分ですみませんでした。これは公式
∫√(x^2+a)dx = 1/2｛√(x^2+a)+a log|x+√(x^2+a)|｝
の証明で用いる置き換えです。
多分、知っていないとなかなかできない置き換えなので、一度証明をやってみてください。

お礼

何度もご説明いただきありがとうございました。

回答No.2

carvelo

部分分数分解の前までは合ってます。

参考までに
∫√(x^2+a)dx = 1/2｛√(x^2+a)+a log|x+√(x^2+a)|｝
が成り立ちます。これを使えば一発です。証明は、t=x+√(x^2+a)と置いて積分してみてください。

補足

重ね重ねの質問で申し訳ありませんが，

>∫√(x^2+a)dx = 1/2｛√(x^2+a)+a log|x+√(x^2+a)|｝を使って解いた答えは，(1+√2)/2+log(1+√2)でいいんですか？

＞証明は、t=x+√(x^2+a)と置いて積分してみてください。
というのはどこでの証明になるのでしょうか？

回答No.1

owata-www

∫[0→1/√2]1/(1-t)^2・(1+t)^2dt＝∫[0→1/√2]{1/2(1-t)^2+1/2(1+t)^2}dt
これは、本当に成り立ちますか？もう一度ご確認ください。