二階の全微分について

質問

物理でxyの座標を極座標に変換し加速度を計算するなかで、2階の全微分に困っています。あまり、微分積分は慣れていないので、丁寧に教えていただけると助かります。
http://okwave.jp/qa/q2707943.html
でも、同じような質問があります。
一階の全微分はわかりますが、2階の全微分で項が増えるのがわかりません。
具体的には、
Z=f(X,Y),　X=g(t)　Y=h(t)で、
dZ/dt＝(∂Z/∂x)dx/dt+(∂Z/∂y)dy/dt
まではよくわかり、これを二階にするときはまず、第1項目(∂Z/∂x)dx/dtが
{∂/∂x(∂Z/∂x)dx/dt}dx/dt+{∂/∂y(∂Z/∂x)dx/dt}dy/dt　となるだと思うのですが、(∂Z/∂x)d/dt(dx/dt)という項も加わるようです。詳しくその考え方を教えていただけますでしょうか？

回答No.2

yokkun831 · ベストアンサー

>どう区別して使うんでしょうか？

つまり，前者

d/dt{(∂Z/∂x)dx/dt} = d/dt(∂Z/∂x)・dx/dt + (∂Z/∂x)・d/dt(dx/dt)

の第２項ですが，

∂Z/∂x はそれ自体がx,yを通じてtの関数なのです。ですからこれをtで微分するにはチェーンルールでまずxで偏微分してdx/dtをかけ，次にyで偏微分してdy/dtをかければよいわけですね？

お礼

ありがとうございます。よく、アドバイスを考えながら計算すると求めていた結果が得られました。非常に助かりました。つい先日も別の質問で助けていただいていたようです。重ねてお礼申し上げます。

回答No.1

yokkun831

z=f(x,y) は，x=g(t)，y=h(t) を通じてtの関数になるわけです。

したがって，第1項目(∂Z/∂x)dx/dtの微分は

d/dt{(∂Z/∂x)dx/dt} = d/dt(∂Z/∂x)・dx/dt + (∂Z/∂x)・d/dt(dx/dt)
　　= ∂/∂x(∂Z/∂x)・(dx/dt)^2 + ∂/∂y(∂Z/∂x)・dx/dt・dy/dt + (∂Z/∂x)・d^2x/dt^2

ということになります。dx/dtもtの関数であることに注意してください。

補足

ありがとうございます。少し、近づいた気がしますが、まだ初歩的なところで、十分理解できていません。
一つ目の式の
d/dt{(∂Z/∂x)dx/dt} = d/dt(∂Z/∂x)・dx/dt + (∂Z/∂x)・d/dt(dx/dt)
は　(fg)'=f'g + fg' ということだと思いますが、
後ろで使っている
d/dt(∂Z/∂x)・dx/dt = ∂/∂x(∂Z/∂x)・(dx/dt)^2 + ∂/∂y(∂Z/∂x)・dx/dt・dy/dt
とはどう区別して使うんでしょうか？（これは全微分の時の式と思います。）
カッコを外すと両方とも左辺が同じですので、カッコの使い方など、十分まだ理解できていません。

よろしくお願いいたします。