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二階の全微分について
物理でxyの座標を極座標に変換し加速度を計算するなかで、2階の全微分に困っています。あまり、微分積分は慣れていないので、丁寧に教えていただけると助かります。 http://okwave.jp/qa/q2707943.html でも、同じような質問があります。 一階の全微分はわかりますが、2階の全微分で項が増えるのがわかりません。 具体的には、 Z=f(X,Y), X=g(t) Y=h(t)で、 dZ/dt＝(∂Z/∂x)dx/dt+(∂Z/∂y)dy/dt まではよくわかり、これを二階にするときはまず、第1項目(∂Z/∂x)dx/dtが {∂/∂x(∂Z/∂x)dx/dt}dx/dt+{∂/∂y(∂Z/∂x)dx/dt}dy/dt となるだと思うのですが、(∂Z/∂x)d/dt(dx/dt)という項も加わるようです。詳しくその考え方を教えていただけますでしょうか？
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- yokkun831
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>どう区別して使うんでしょうか？ つまり，前者 d/dt{(∂Z/∂x)dx/dt} = d/dt(∂Z/∂x)・dx/dt + (∂Z/∂x)・d/dt(dx/dt) の第２項ですが， ∂Z/∂x はそれ自体がx,yを通じてtの関数なのです。ですからこれをtで微分するにはチェーンルールでまずxで偏微分してdx/dtをかけ，次にyで偏微分してdy/dtをかければよいわけですね？
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- yokkun831
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z=f(x,y) は，x=g(t)，y=h(t) を通じてtの関数になるわけです。 したがって，第1項目(∂Z/∂x)dx/dtの微分は d/dt{(∂Z/∂x)dx/dt} = d/dt(∂Z/∂x)・dx/dt + (∂Z/∂x)・d/dt(dx/dt) = ∂/∂x(∂Z/∂x)・(dx/dt)^2 + ∂/∂y(∂Z/∂x)・dx/dt・dy/dt + (∂Z/∂x)・d^2x/dt^2 ということになります。dx/dtもtの関数であることに注意してください。
質問者からの補足
ありがとうございます。少し、近づいた気がしますが、まだ初歩的なところで、十分理解できていません。 一つ目の式の d/dt{(∂Z/∂x)dx/dt} = d/dt(∂Z/∂x)・dx/dt + (∂Z/∂x)・d/dt(dx/dt) は (fg)'=f'g + fg' ということだと思いますが、 後ろで使っている d/dt(∂Z/∂x)・dx/dt = ∂/∂x(∂Z/∂x)・(dx/dt)^2 + ∂/∂y(∂Z/∂x)・dx/dt・dy/dt とはどう区別して使うんでしょうか？（これは全微分の時の式と思います。） カッコを外すと両方とも左辺が同じですので、カッコの使い方など、十分まだ理解できていません。 よろしくお願いいたします。
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