dy/dxの計算問題

質問

ある問題の途中で最後の計算のところがわからないので教えてください。
dy/dx=sint/1-costという結果を媒介変数から求めました。ここで、
d^2y/dx^2=d/dx*(dy/dx)=d/dt*(sint/1-cost)*dt/dx と表されていますが、最後の*dt/dx がどういう意味かわかりません。

合成関数の微分の考えを用いているのは「なんとなく」わかるのですが、なぜtをxで微分したものなのでしょうか。言われてみれば納得できないこともないですが、明確にはわかりません。まして、自力でこの手の問題を解くときにはわからないと思います。

どなたか教えてください。

回答No.1

bad-boys · ベストアンサー

d^2y/dx^2
=d/dx*(dy/dx)
=d/dt*dt/dx*(sint/1-cost)　　　（∵d/dx=d/dt*dt/dx）
=d/dt*(sint/1-cost)*dt/dx

回答No.3

y_akkie

あなたの疑問は以下の(1)(2)についてでしょうか。

(1)　なぜ、1/(dx/dt) = dt/dxになるのか？
　　すなわち、xをtで微分した式の逆数がtをxで微分したと言えるのか？

(2)　なぜ、(dy/dt)(dt/dx) = dy/dxになるのか？
　　すなわち、yをtで微分した関数とtをxで微分した関数の積が、
　　なぜ、yをxで微分した関数になるのか？

(1)についてですが、

x = f(t)とおいて説明します。
まず、xをtで微分すると、dx/dt = f'(t)として表されます。
次に、tをxで微分すると、 1 = (t)'f'(t)の関係が成立します。
すなわち、1/(t)' = f'(t)の関係が成立します。
これはtをxの関数と見立てて合成関数による微分を行った結果です。
(t)' = dt/dx、f'(t) = dx/dtになる事からこれらを上式に代入すれば、
1/(dt/dx) = dx/dtになる事が分かります。

(2)についてですが、

x = f(t),y = g(t)とおき、
まず、y = g(t)をxで微分すると、dy/dx = (t)'g'(t) = dt/dx g'(t)となります。ここで、 dy/dt = g'(t)になる事から、以上の式に代入すれば、
dy/dx =　(dy/dt)(dt/dx)を満たす事が分かります。

回答No.2

Tacosan

合成関数の微分は
d[f(g(x))]/dx = f'(g(x)) g'(x)
ですが, ここで t = g(x) とおくと
df(t)/dx = f'(t) dt/dx
です.

補足

一応自分なりに理解できたと思います。

微分は約分のような考え方が通用するので、それを使った。

と理解しました。あまり難しいことは今微分をやり始めたばっかりなのでよくわかりませんが、とりあえずこの考え方でいいでしょうか。