テイラー展開の概念について

質問

「テイラー展開とは、無限回微分可能な関数 f(x) をある点 x = a の周りでべき級数に展開する方法」と以下のURLで記述されています。すごく単純に考えて、f(a)と考えたくなるのですが・・・よく概念が分かりません。
　ちなみに、cosθ≒1-θ^2/2・・・（＊）の導出を探している途中にこれに行き着きました。a=0のとき、つまりマクローリン展開で式（＊）が導出されていました。例えば、a=3のときのcosθもあるのでしょうか？それはどのような意味をもつのでしょうか？数学は、甚だ苦手ですので定性的な説明で結構です、ご教授願います。

回答No.1

yaksa · ベストアンサー

えっと、
f'(a) = lim_{x->a} {f(x)-f(a)}/(x-a)
なんで、
x≒aの場合は
f(x) ≒ f(a) + f'(a)(x-a)
と近似できますよね。でも、これだと(x-a)の１次の項で打ち切っているので当然誤差があります。もっと高次まで考えれば当然誤差が少なくなるんですが、
テイラー展開は、これを(x-a)の無限次までやったもの？といったイメージですかね。
すると、不思議（だと私は思いますが）なことに、
誤差が０になるわけです。
つまり、x=aでのf(x)の全て次数の微分係数が分かると、全ての点でのf(x)の値が分かるわけです。
もちろん、テイラー展開には収束範囲というのがあって（複素平面上での一番近い特異点までの距離）、それを超えると有効ではなくなってしましますが。

＞a=3のときのcosθ～
もちろん考えられます。
cosθ = cos3 - sin3*(θ-3) - cos3*(θ-3)^2/2 + sin3*(θ-3)^3/6 - ...
です。
直感的な意味としては、「１点θ=3でのcosθの情報（高次の微分係数）が完全に分かると、全てのθについてcosθの値が計算できる」、て感じですかね。
数直線全体-∞<θ<∞でのcosθの値が、実は１点θ=3での情報から計算できる、てわけです。

うまく説明できなくて申し訳ない。

お礼

有難う御座います。直感的な意味が良く分かります。

回答No.3

weredragon

>すごく単純に考えて、f(a)と考えたくなるのですが

はい。その考えを広げていけばテイラー展開に行き着きます。
つまり、「x=a の点の周りで f(x)を多項式で近似したい」わけです。
一番荒い近似は y=f(a) (定数関数) ですね。(x=a で一致)
でも点 x=a では f(x) は傾いているわけです。
だから直線（一次式)で近似したくなります。(x=a で接する）
その次はx=a の周りの曲がり方が気になります。
つまり、直線の次に簡単な曲線（二次式）で近似します。
これを次々に繰り返していくと、だんだん f(x)に近づいていくわけです。

以上からわかると思いますが、a=3 のときでも cosθ　を
近似することができます。

例として y=cos θ, y=1, y=1-θ^2/2　などを
同じグラフに描いてみるとだんだん近づいていくことがわかるでしょう。
もっと簡単に、 f(x)=1+x+x^2+x^3+x^4 と
y=1, y=1+x, y=1+x+x^2, ・・・でもいいですよ。

お礼

有難う御座います。よく分かりました。

回答No.2

cloud-lab

テイラー展開の前にテイラーの定理というものがあります。

fは(n+1)回微分可能とする。
f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+(1/2!)f"(a)(x-a)^2+…
　　　+(1/n!)f^(n)(a)(x-a)^n
　　　+(1/(n+1)!)f^(n+1)(c)(x-a)^(n+1)
となるcがaとxの間に存在する。

これは平均値の定理をn+1回使うことで証明できます。
ここで、f^(n+1)(c)が有界なら、
n→∞のとき累乗より階乗のほうがはるかに大きいので
(x-a)^(n+1)/(n+1)!→0 (n→∞)
となり、テイラー展開と同じようになります。
f(x)=cosxとおくとf^(n)(c)は-1～1の値をとるので
テイラー展開可能です。

ところで、概念ということですが、例えばcos11などは実際の値がどれぐらいなのか分かりませんが、テイラー展開の式にx=11を代入するといくらでも詳しい値を調べることができますよね。このように近似式を用いることで、そのものを求めることはできないまでも近似値を求めることができます。そのときの誤差の程度は先に述べたテイラーの定理で求められ、無視できる程度の誤差になるまで計算すればいいのです。

ちなみにf^(n+1)(c)というのは、fのn+1回微分したものにcを代入したという意味でかいてます。読みにくくてすみません。

お礼

有難う御座います。テイラーの定理からもう一度勉強してみたいと思います。