合成関数を利用したテイラー展開

質問

f(x,y) = e^xyの(0,0)のまわりでの２次のテイラー展開を求め、剰余項R3の具体的な形を求める問題なんですが・・・・

２変数関数におけるテイラーの展開をこの前ならったので間違って展開している可能性があります。

おそらくt = xyとしてテイラー展開すると・・・・

t + 1 / 2!t^2 + R3

(x,y) = (0,0) よりt = 0であるから
R3 = 1？

なのでしょうか？

回答No.4

JJrJ

授業で教えて！gooなどの質問サイトを提出期限前に利用することを禁止すると言われた筈ですが、どうお考えなのでしょうか。

回答No.3

k_m__

e^t の t=0 のまわりでの展開がそもそも間違っている。正しくは

e^t=1+t+t^2/2+R3.

この式において，きちんと R3 の具体的な形を書くこと。
そうすれば t=xy のときの剰余項 R3 の形もすぐにわかる。

回答No.2

info22

#1です。
＞f(0,0) = 1
＞(xD1 + yD2)f(x,y) = xfx(x,y) + yfy(x,y)
＞よってxf(0,0) + yf(0,0) = 0
＞この時点でなぜか０がでてしまいました。
xfx(0,0) + yfy(0,0) の間違いですが、=0になります。

＞(xD1 + yD2)^2f(x,y) = x^2fxx(x,y) + 2xyfxy(x,y) + y^2fyy(x,y)
＞よって x^2fxx(0,0) + 2xyfxy(0,0) + y^2fyy(0,0) = 0
＞再び0が・・・・・・
これは間違いです。
fxx(0,0)=fyy(0,0)=0ですがfxy(0,0)≠0
ですから、=0にはなりません。
fxy(x,y),fyx(x,y)の計算をちゃんとしましたか？

以降、この影響で正しいA#1で書いた結果の式が出てきません。
fx(x,y),fy(x,y),fxx(x,y),fyy(x,y),fxy(x,y),fyx(x,y)
の式が書いてありませんのでどの式が間違いかは正確に指摘できませんが、
fxy(x,y),fyx(x,y)以外の式は全て正しく計算されていると想定して
回答しました。
計算しなおして見て下さい。

回答No.1

info22

参考URLに２変数関数におけるテイラーの展開の例題がありますので
少し復習がてら勉強しなおしてから
問題を解いてください。

それでも分からなければ、やった解答を補足に書いて分からない箇所を質問して下さい。

参考までに
解答はf(x,y)=1+xy+R3, R3=e^(xy)-1-xy
となります。

参考URL：

http://markun.cs.shinshu-u.ac.jp/learn/biseki/no_9/cont09_3.html

補足

かんがえたのですが＃１さんの答えになりません・・・・・。

f(0,0) = 1
(xD1 + yD2)f(x,y) = xfx(x,y) + yfy(x,y)
よってxf(0,0) + yf(0,0) = 0
この時点でなぜか０がでてしまいました。
(xD1 + yD2)^2f(x,y) = x^2fxx(x,y) + 2xyfxy(x,y) + y^2fyy(x,y)
よって x^2fxx(0,0) + 2xyfxy(0,0) + y^2fyy(0,0) = 0
再び0が・・・・・・

そうすると・・・
f(x,y) = 1 + R3
R3 = ?
R3の求め方って・・・・・？？
ってな感じです。