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ロルの定理の証明
まず、ロルの定理とは関数 f(x)が閉区間 (a,b)で連続、開区間 (a,b)で微分可能でf(a)=f(b)ならば f ' (c)=0, a<c<b を満たす実数cが存在する。 証明 (1) f(x) が定数のとき 常にf ' (x) =0 であるから、明らかに定理は成り立つ。 つ ※なぜ成り立つのでしょうか。簡単な例をあげていただきたいのですが。 (2) f(x)が定数ではないとき f(x)は閉区間(a,b)で連続であるから、最大値、最小値の定理より、この区間で最大値と最小値をもつ。 (i) f(a) = f(b)が最大値をとる点のx座標をcとすると、a<c<bであるから、a<c<bであるから、a<c+⊿x<bを満たす⊿xに対して f(c+⊿x) ≦ f(c) となる。 ゆえに、⊿x>0 のときf(c+⊿x) -f(c) /⊿x ≦ 0 (1) ⊿x<0 のときf(c+⊿x) -f(c) /⊿x ≧ 0 (2) f(x)はx=cで微分可能であるから lim(⊿x→0) f(c+⊿x) -f(c) /⊿x = f ' (c) (1)より、f ' (c) ≦ 0 (2)より、f ' (c) ≧ 0 したがって f ' (c) =0 (ii) f(a) = f(b) が最大値であるとき、最小値をとる点をcとすると、a<c<b となる。 (1), (2)からロルの定理は成り立つ。 終 ※ (2)の部分に関していえば、cが最大値となるような、a,b間で連続のなめらかな曲線を書くと、f(c+⊿x) < f(c) であることが読み取れるので理解できるのですが、その逆の⊿x>0 のときf(c+⊿x) -f(c) /⊿x ≦ 0 の場合において、f(c+⊿x) は c + x の位置は c の左側 0より、またcが最大値なので、f(c+⊿x) < f(c) には変わりなし。 ただし、⊿x で割るので、f(c+⊿x) -f(c) /⊿x ≧ 0 となる。といった解釈でよろしいでしょうか。 次に、f(x)はx=cで微分可能であるから lim(⊿x→0) f(c+⊿x) -f(c) /⊿x = f ' (c) この式は微分係数の定義により導いたと思うのですが、いまいち、この式がぱっと頭にうかびません。 グラフを使ってこの式の導き方を表すことは可能ですか。 お願いします。
- samurai7977
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- Yuki3814
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「xの二乗」は「x^2」と表します。 ＞(1) f(x) が定数のとき ＞常にf ' (x) =0 であるから、明らかに定理は成り立つ。 ＞※なぜ成り立つのでしょうか。 そもそも微分とは「傾きの関数」です。 例えば f(x) = x^2 を微分するとf'(x)=2x となりますね。 これにx = 1を代入すると f'(x) = 2となります。 これはf(x)のx=1における傾きが２ということになります。 問題に戻って f(x)が定数ならば微分した値は０になります。 これはxがどんな値でも傾きが０ということになります。 明らかに、傾きが０（f'(c) ＝ ０）となるcは存在します。 ＞次に、f(x)はx=cで微分可能であるから lim(⊿x→0) f(c+⊿x) -f(c) /⊿x = f ' (c) ＞この式は微分係数の定義により導いたと思うのですが、いまいち、この式がぱっと頭にうかびません。 ＞グラフを使ってこの式の導き方を表すことは可能ですか。 lim(⊿x→0) f(c+⊿x) -f(c) /⊿x = f ' (c) は傾きを求めているだけです。 グラフを見てください lim(⊿x→0) f(c+⊿x) -f(c) /(c+⊿x) - c = f ' (c)と考えてみてください。 Δxは0.00000001くらいだと考えると、x = cでの傾きを求めていることになります。
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