陰関数定理について

質問

２変数の陰関数定理

R^2のある領域AでF(x,y)は連続、Aの一点(x0,y0)の近傍Uでyについて偏微分可能かつ∂F/∂yはUで連続とする。もし、F(x0,y0)=0,∂/∂y(x0,y0)≠0ならば(x0,y0)の十分小さい近傍Vでy0=f(x0),F(x,f(x))=0をみたす連続関数y=f(x)が唯一存在する。

この定理で、開集合V1でy=f1(x),F(x,f1(x))=0となり、開集合V2でy=f2(x),F(x,f2(x))=0となったとき、V1∩V2で,f1=f2は成り立ちますか？
よろしくお願いします。

回答No.1

yamori2009 · ベストアンサー

V1,V2それぞれにおいて、Fが定理の条件を満たしていると仮定した場合
V1においてf1はただ一つ存在し、V2においてf2はただ一つ存在します。
V3=V1∩V2とするとV3⊂V1なのでV3においてFは定理の条件を満たしているためy=f3(x),F(x,f3(x))=0を満たすf3がただ一つ存在します。さらにf4をf1の定義域をV3に限った関数とすると、f4もV3でただ一つか存在しません。
V3∋aを一つとってf3(a)≠f4(a)と仮定した時、f3≠f4となり、V3において定理の結論を満たす関数が異なる2つ存在することとなり矛盾。
よってどのようなV3の元xにたいしてもf3(x)=f4(a)となり、f3=f4
よってV1∩V2でf1=f3
同様にf2=f3も示せば
V1∩V2でf1=f2です

補足

返信が送れてしまって申し訳ありません。
大変良くわかりました。
どうもありがとうございました。

回答No.2

yamori2009

No1のものですf3(x)=f4(x)ですね