ヘッセの定理について

質問

次の二つの問いについて疑問があります。

1.　関数f(x,y)=(x+y)^2+x^4+y^4が原点で極小になることを示せ。
2.　次の関数の極値を求めよ。また、求めた極地が極小値であることを示せ。
　　ｚ＝f(x,y)=x^2-3xy+2y^2-5x+2y

1.ですが、ヘッシャンを求めると0で、fの二階偏微分係数は正です。
　そこでヘッセの定理から極小だと答えたところ、「近傍調査をせよ」と書かれました。
　わからないのは、ヘッセの定理の証明で、
　(a,b)が停留点の時、f(a+k,b+h)-f(a,b)の値から極地の種類を割り出す際に、ヘッシャンが0であればkとhの比によっては必ず差が0になってしまうのでは？という事です。
　しかし、グラフソフトを使って上の関数を描写すると、確かに原点で極小になっていました。
　いったい近傍調査とはどのように行うのか、また、ヘッシャンが0にもかかわらず極値をとる訳を教えてもらえませんか?

2.ですが、私の計算ではヘッシャンは負になるとなったのですが（xでの二階偏微分係数は2、x,y一階ずつの偏微分係数は（-3）、yでの二階偏微分係数は4でヘッシャンは（-1））これは極値を取らないという事になってしまうのではないでしょうか？問題が間違っているとは思えないのですが…
　これも教えていただけるとありがたいです。

以上の二つについてよろしくお願いします。

回答No.1

Tacosan

とりあえず 1 だけ:
一般論でいえば, 「Hessian が 0」のときには極大とも極小とも言えません. 次の場合を考えてみてください:
f(x, y) = (x+y)^2 + (x+y)^3,
f(x, y) = (x+y)^2 - (x+y)^3.

だから, 停留点のまわりで本当に極値になっているのかどうかを調べる必要があります.

お礼

他の質問に対する詳細は自分の大学の教授にしてみます。
返答、ありがとうございました。

補足

確かにどちらとも言い切れないようですね…
ところで、停留点の周りでの調査はどのようにして行うのでしょうか？よければ教えてもらえませんか?