対称性とは？？

質問

f(x,y) = 2x＾2 + 2y＾2 - x＾4 - y＾4という式の極大値と極小値を
求めるという問題で偏微分によって
(x,y) = (0,0),(1,0),(-1,0),(0,1),(0,-1),(1,1),(-1,1),(1,-1),(-1.-1)
という極値の候補が求まると思うのですが、ここから関数の対称性より、
(x,y) = (0,0),(1,0),(1,-1)に絞れるようなんですがなぜこのようになるのか
よくわかりません。どなたか教えてください。

回答No.3

kabaokaba · ベストアンサー

ほとんど同じ質問を前に見たような・・・

f(x,y)=f(y,x)は明らかだから
x,yの順番は関係ない
すなわち，
(0,0),(1,0),(-1,0),(0,1),(0,-1),(1,1),(-1,1),(1,-1),(-1.-1)
が
(0,0),(1,0),(-1,0),(1,1),(-1,1),(-1.-1)
に絞られる．
座標で書けばすぐわかる．y=xで対称な点を消せばいい．

次は
この関数はx^2とy^2だけで書けるから
f(-x,y)=f(x,y)
f(x,-y)=f(x,y)
f(-x,-y)=f(x,y) ・・・これはわざわざ書かなくてもいいわざと書いた
つまり，マイナスがあるかないかは関係ない．
よって
(0,0),(1,0),(1,1)
ほら，絞れた．
なお，(1,1)と(1,-1)は同じなのは自明でしょう？
絞り方は一意ではありません

これも座標を書けばすぐわかる
だって，結局「第一象限」（と軸の0以上の部分）だけってことだもん

回答No.2

N64

あと、ｘとｙを入れ替えても同じ、が必要ですね？

回答No.1

N64

ｘについても、ｙについても対称だからではないでしょうか。
平面の上にx軸、y軸を書き、座標をプロットしてみると、
ｘ＞＝０、ｙ＝＞０の範囲だけで、考えれば、あとは、同じ
ということに、なるということでは、ないでしょうか？
（1,-1）は、（１，１）の間違いではないでしょうか？

補足

（1,-1）は(1,1)の間違いでした。すみません。
理解できたようなできないような…
プロットして考えないと対称性はわからないのでしょうか??