2変数関数の鞍点とは?極大や極小の判定方法について知りたい
- 独学で微分積分学を勉強しています。2変数関数の鞍点とは何かを知りたいです。また、極大や極小の判定方法についても教えてください。
- 2変数関数 F(x, y) の原点での状況について考えています。原点での関数の形状や鞍点について知りたいです。また、なめらかな関数では鞍点はあり得ないのでしょうか?
- 2変数関数の鞍点について理解していることとして、極大や極小ではない場合でも鞍点になる可能性があることです。また、なめらかな関数では鞍点は起こりにくいですが、特殊な条件下では鞍点が生じることもあります。高度な極大極小の判定方法については専門的な知識が必要です。
- ベストアンサー
2変数関数の鞍点
2変数関数の鞍点 独学で微分積分学を勉強しています。 今やっているのは2変数関数のところで、 鞍点というのを知って1変数との違いを感じました。 いろいろ問題を見ていると ∂F/∂x, ∂F/∂y , ∂^2F/∂x^2, ∂^2F/∂y^2 を調べることで、極大か極小か鞍点かを求めているようでした。 そこで、2変数関数 F(x,y) の原点での状況が F(0,0) = 0 で x軸上、y軸上は F(x,y) > 0 で尾根、 y = ±x の直線上は F(x,y) < 0 で谷底のような 原点を中心に波打ってるような関数の場合 ∂F/∂x = 0, ∂F/∂y = 0 ∂^2F/∂x^2 > 0, ∂^2F/∂y^2 > 0 と分かっても極小にはならないんじゃないかと思いました。 なめらかな関数だとこんなものはあり得ないのでしょうか? それとももっと高度な極大極小などの判定方法があるのでしょうか? 式が分からないので画像添付ができず、わかりにくくてすみません。 よろしくお願いします。
- monster54
- お礼率100% (37/37)
- 数学・算数
- 回答数3
- ありがとう数5
- みんなの回答 (3)
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
No.1さんの回答のリンク先でも解説されていることですが,補足します. 質問者さんご自身がお気づきのように,x軸方向とy軸方向という特定の2方向の2階偏微分係数の情報だけでは,極値点か鞍点かは(一般には)判断できません. 極値点と鞍点を区別するためのより強力な手法としては,ヘッセ行列式という値を利用する方法があります. ただし,その方法も万能ではありません.ヘッセ行列式を使ってもなお極値点か鞍点の判断がつかない場合があります.そのような場合は,状況に応じて工夫して議論する必要があります.
その他の回答 (2)
- alice_44
- ベストアンサー率44% (2109/4759)
一変数の場合も、f '(a)=0 だけでは f(a) が極値だとは言えなかったはずです。 f ''(a) の符号を調べ、f ''(a)=0 の場合には 更に f '''(a) の符号も調べる必要がありました。 これは、テイラー展開の最小次数の項を 評価することに相当するのでしたね。 多変数関数でも、基本的な考え方は同じ。 f(x,y) を (x,y)=(a,b) でテイラー展開すると、 一次項が (∂f/∂x)(x-a) + (∂f/∂y)(y-b)、 二次項が (∂2f/∂x2)(x-a)2 + 2(∂2f/∂x∂y)(x-a)(y-b) + (∂2f/∂y2)(y-b)2 となるので、 これらが定符号になるかどうか、 次数の低いほうから順に調べてゆく ことになるのです。
お礼
回答ありがとうございます。 やはり一般的になると、そう簡単にはいかないのですね。 私は大学に行っておらず、独学するために簡単な教科書を買ったので、 一通り終わったら、線形代数学の簡単な教科書と 微分積分学のしっかりした2冊目の教科書を 並行して進めてみたいと思います。
- info22_
- ベストアンサー率67% (2650/3922)
次のURLが参考になるかと思いますので勉強してみて下さい。 参考URL http://www.f-denshi.com/000TokiwaJPN/10kaisk/101ksk.html http://150.19.250.13/MULTIMEDIA/calcmulti/node89.html http://150.19.250.13/MULTIMEDIA/calc/node50.html http://markun.cs.shinshu-u.ac.jp/learn/biseki/no_4/kyokuti.html http://markun.cs.shinshu-u.ac.jp/learn/biseki/no_4/hantei.html
お礼
回答ありがとうございます。 行列というものの知識があまりないので、 少し私には難しかったですが、 ちゃんとした判定法があったということですね。 調べると行列は微分積分学が終わった後にやろうと思っていた 線形代数学で出てくるようなので、 教えていただいたページを保存しておいて、 線形代数学で行列をやった時にやり直したいと思います。
関連するQ&A
- 2変数関数の極値を求める問題について
微分積分の回答をお願いいたします。 関数z=f(x,y)=x^3-3xy+y^2について次の問いを求めよ 1、z=f(x,y)の偏導関数を計算し、極値の候補を求めよ、 2、z=f(x,y)の第二次偏導関数を計算し、上で求めた候補が極値かどうか求めよ、 また、極値ならば極大か極小か吟味せよ。 回答をお願いいたします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 変数関数の微分
変数関数の微分 この問題をどなたか解いてもらえませんでしょうか? 一晩考えましたがわかりませんでした。。。 関数 z=f(x,y) を以下のように定める。 f(x,y) = xy ― √x^2+y^2 (x,y)≠(0,0)のとき 0 (x,y)=(0,0)のとき (1) 1変数関数f(x,0)のx=0での微分関数と、 1変数関数f(0,x)のy=0での微分係数を求めなさい。 (2) r(x,y)によってxy平面上での原点(0,0)と点(x,y)の距離を表すことにする。 つまりr(x,y)=√x^2+y^2である。 実数t≠0について、(x,y)=(t,t)となる場合について考える。 lim f(t,t) ――― t→0 r(t,t) を求めなさい。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 多変数関数の最大/最小問題の一般的解法
多変数関数、例えば f(x,y,z) の最大値/最小値を求めるときに ∂f/∂x=0 ∂f/∂y=0 ∂f/∂z=0 の連立方程式を解く方法が、講義ではよくでてきますが 導関数が =0 であっても、極値をとるかどうかはわからないし 極値をとったとしても極大か極小かはわからないと思うのですが… こういう解法がとられる場合には、暗黙の了解として 明らかに極大(極小)となることを前提としているのでしょうか? もしそうなら、それは容易に判断できることなのでしょうか?
- 締切済み
- 数学・算数
- 数学の関数
三次関数、四次関数 一次関数や二次関数と同じで、 ・Y軸と交わる点(y切片)、 ・X軸と交わる点(x切片)、 ・極大・極小となる点(1回微分がゼロとなる点) がわかるように図示します。 ・変曲点(曲がり方が変わる点=2回微分がゼロとなる点)も図示します。 という事を前の質問の回答で聞いたんですが、微分なんてやってませんorz・ 『極大・極小となる点(1回微分がゼロとなる点) がわかるように図示します。 ・変曲点(曲がり方が変わる点=2回微分がゼロとなる点)も図示します。』 だから、どう考えてもこれが出せなくないですか。 二次関数の時は、 y軸の交点 軸の方程式 頂点の座標を求めろって言われましたが、 四次関数って軸の方程式と頂点の座標ってありますか? 三次関数は頂点の座標無さそうですし、軸の方程式も無さそうですし
- 締切済み
- 数学・算数
- 3次関数 極大、極小について
次の関数についてy'=0となるxの値を求めよ。 また、そのxの値に対して関数が 極大または極小になるかどうかを調べよ。 (1)y=x^3+3x^+3x y'=0のときx=-1までは分かるのですが 極大、極小になるかを 調べる方法がわかりません。 (2)y=x^3+x^-1 この問題も y'=0のときx=-1、1/3までは分かるのですが 極大、極小になるかどうか わからなくて...(´・ω・`) 回答は (1)極大にも極小にもならない (2)x=-1(極大)x=1/3(極小) となっています。 解説よろしくお願いします>_<
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 極大値・極小値について教えてください。
関数f(x,y) = x^2-2xy+2y^2+2x-8yの極大値・極小値を求めよという問題です。 まずxとy、それぞれで偏微分すると ∂F/∂x = 2x-2y+2 = 0 ∂F/∂y = -2y+4y-8 = 0 になります。 この二つの連立方程式を解くと、 x = 2, y = 3 になるんですが、 この(2,3)という点が極小値になるのか極大値になるのかが分からずに困っています。 どうかよろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 微分 関数の極大、極小について教えてください!
微分 関数の極大、極小について教えてください! y=-x^3+3x^2+9x+4 (-2≦x≦5) 増減表までお願いししたいです。よろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 次の2次函数極大・極小の問題が分かりません。
次の2次函数極大・極小の問題が分かりません。 見ていただきありがとうございます。 今つぎの問題が分からないのですが見ていただけないでしょうか? 次の函数f(x,y)を極大にする点(x,y)及び極小にする点(x、y)をそれぞれすべて求めよ。 f(x、y)=x(-x-y+1)y です。 色々として候補点は一応求まりました。 (0,0) (0,1) (1,0) (1/3,1/3) あっているかどうか分かりません。 ここでヘッシアンの公式を用いて判別しました。 ヘッシアンが0ということだけでは極大・極小が判別できないといわれました。 自分で答えを出してみたところ極大・極小ともになしという答えが出たんですが間違っていました。 もし分かるかたがいましたら、回答・解説よろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 解析学の極大点極小点鞍点を見つける問題を教えて下さ
解析学の、極大点、極小点、鞍点を見つける問題を教えて下さい。 f(x,y)=xy(3-x-y)について、 存在するなら極大点、極小点、鞍点をすべて見つけなさい、 という問題です。 x、yでそれぞれ偏微分して、それが=0となるのは分かるのですが、 そこからどうしてよいか分かりません。 教えて下さい。お願いします
- ベストアンサー
- 数学・算数
お礼
回答ありがとうございます。 やはり2方向だけではまずかったのですね。 じゃあ、いったいどれだけの方向を調べればいいんだと考えたときに、 ほとんどの方向が f'=0, f">0 だとしても、 1方向でも f'=0, f"<0 となる方向があれば極小じゃなくなるので、 無限に調べないといけなくなる??? というところでよく分からなくなっていました。 教えていただいたヘッセ行列式の話は 線形代数学をやったときに復習してみようと思います。