３次関数 極大、極小について

質問

次の関数についてy'＝０となるｘの値を求めよ。
また、そのｘの値に対して関数が
極大または極小になるかどうかを調べよ。

(１)ｙ＝ｘ^3＋３ｘ^＋３ｘ

y'＝０のときｘ＝－１までは分かるのですが
極大、極小になるかを
調べる方法がわかりません。

(２)ｙ＝ｘ^3＋ｘ^－１

この問題も
y'＝０のときｘ＝－１、1/3までは分かるのですが
極大、極小になるかどうか
わからなくて...(´・ω・｀)

回答は
(１)極大にも極小にもならない
(２)ｘ＝－１(極大)ｘ＝1/3(極小)
となっています。

解説よろしくお願いします>_<

回答No.1

asuncion · ベストアンサー

＞(１)ｙ＝ｘ^3＋３ｘ^＋３ｘ

y=x³+3x²+3x
のことでしょうか。そうだとすると、
y'=3x²+6x+3=3(x+1)²
となりますので、y'=0はx=-1という二重解を持ちます。
二重解でなければ極大値・極小値を持ちますが、
二重解の場合は持ちません。
当該の3次関数のグラフは、x³の係数が正ですので、左下から右上へ向かって単調増加します。
x=-1のところで、接線の傾きが0になります。

＞(２)ｙ＝ｘ^3＋ｘ^－１

y=x³+x²-1
のことでしょうか。そうだとすると、
y=3x²+2x
となりますので、y'=0の解はx=0, -2/3となります。-1や1/3ではないと思います。
当該の3次関数のグラフは、x³の係数が正ですので、
左下から上がってきてx=-2/3のところで極大値を取り、
右下に下がってx=0のところで極小値を取り、
再び右上がりになります。

お礼

asuncionさん回答ありがとうございます。

(１)はよくわかりました^^
二重解のときは極値はないんですね。

(２)は問題を打ち間違えてしまいました。

正しくはｙ＝ｘ^3＋ｘ^2－ｘ－１でした>_<

回答して下さったのに
申し訳ありません(´・ω・｀)

回答No.2

asuncion

＞(２)は問題を打ち間違えてしまいました。
＞正しくはｙ＝ｘ^3＋ｘ^2－ｘ－１でした

考え方は、先の回答のとおりです。

お礼

ありがとうございました^p^

前の回答をよく読みます!