極大値、極小値

質問

以前も質問させていただきました。
何度もすみません。

関数y=sinx+cosx (0≦x≦2π)がある。
以下の問に答えなさい。
（１）yの導関数を求め、関数yの増減と極大値、極小値を調べなさい。
y'=cosx-sinxとし
cosx-sinx＝0とおいて、　x＝4/π,　5/4π
これに基づいて、増減表をつくりグラフを描いてみました。

そして、関数を合成する方法でやってみたのですが
y'=cosx-sinxを合成し、
√2sin(x+3/4π)となり
これをグラフに書いたら、前者のグラフと一致しませんでした。
そして、y'の合成関数ではなくyの合成関数のグラフでは一致しました。
y'のほうで、合成関数をつくる方法ではできないのでしょうか？？

回答No.2

leap_day

こんにちは

y 'はあくまでもグラフの増減と変化点を求めるものですからそれでグラフは描けないと思いますよ

例えば　
y=x^2
y '=2xですが明らかにy=x^2のグラフとは違いますよね？

今回の場合、y '=cosx-sinxとするとどの道、合成を使うことになるので元式が簡単にできるのであれば簡単にしてあげましょう
そのほうが微分も楽ですし、グラフの増減、極値、グラフの作画も楽になって大変お得です（＾＾）

y=sinx+cosx
=√2*sin(x + π/4)

y '=√2*cos(x + π/4)
y '=0とすると　x = π/4 , 5π/4

x | 0 | 　 　 |π/4| 　 　　 |5π/4| 　　 　 |2π|
y '|　　|　＋　| 0 |　　－　　| 0 |　＋　　|　|
y | 1 | ／ 　| √2| ＼ 　 |－√2| ／ 　|－1|
　　　　　　　極大　　　　　極小
｜｜は絶対値ではなく表の縦線ですので・・・うまく書けない・・・（－－；）
斜めの矢印はないので／が右上がりの矢印、＼が右下がりの矢印として代用してます

お礼

返信ありがとうございます。
確かにそうですね。。
変なことをいってすみませんでした。
とてもわかりやすかったです。

回答No.1

barao

三角関数の合成でグラフが一致しないということはありません。

確認ですが、
√2sin(x+3/4π)と一致しなかったのは本当にy´=cosx-sinxのグラフですか？
もしy=sinx+cosxのグラフと比較していたらそれは一致しません。
なぜなら元の関数y(x)とそれを微分した導関数y´(x)は別の関数だからです。

お礼

返信ありがとうございます。
誤解を招くような書き方をしてしまいました。すみません。
y'=cosx-sinxを合成すると√2sin(x+3/4π)ですが
これを描いたグラフと、
合成をせずにy'=cosx-sinxとし
cosx-sinx＝0とおいて、　x＝π/4,　5/4π
これに基づいて、増減表をつくりできたグラフが
一致しなかったということです。。