極大値、極小値

質問

次の関数の増減，極大値，極小値，上下への凸，変曲点を調べ，
グラフの概形を描け．

f(x) = x＾(2/3) (2a － x)＾(1/3）

という問題なのですが、f(x)’とｆ（x）'’が問題集に書かれている答えになりません。
微分の途中式教えてもらえませんか？

回答No.5

alice_44

←A No.4 返信
おや、これは目敏い。
｛ ｝内の第二項の符号がミスプリでしたね。
そこを修正して、A No.1 を読み直してください。

結局、貴方自身の計算は書いていないし、
現時点で、A No.3 への返信も無いがようですが、
log を使ったほうの計算は、本当に
正しく理解できたのでしょうか？

回答No.4

alice_44

積の微分法さえ知っていれば、A No.1 の途中式のように計算できて、
log を使う必要は特に無さそうですが…
まあ、使っちゃ悪いということでもありません。
log を使った貴方の途中式を詳しく書けば、間違いの箇所が見つかるかも。
(その「解答」も違っているようです。)

補足

ｌｏｇの間違いもわかり、ｌｏｇを使わないやり方もわかりました。
f''(x)のほうですが、下の式の左辺まではわかったのですが、どういう計算で右辺のようになるのでしょうか？教えてください。
(1/3){ (-1/3)(x^(-4/3))((2a-x)^(-2/3))(4a-3x) + (x^(-1/3))(-2/3)((2a-x)^(-5/3))(4a-3x) + (x^(-1/3))((2a-x)^(-2/3))(-3) }
= (1/9)(x^(-4/3))((2a-x)^(-5/3))(8a^2)

回答No.3

WiredLogic

「logを使った」というのは、対数微分法で解いた、ってことですよね？

それで、やってみますと、

log(f(x)) = (2/3)log(x) + (1/3)log(2a-x)
両辺をxで微分すると、
f'(x)/f(x) = (2/3)*(1/x) + (1/3)*(-1)/(2a-x)
f'(x) = f(x)*{(2/3)*(1/x) - (1/3)*1/(2a-x)}
= x^(2/3)(2a-x)^(1/3) * {(2/3)*(1/x) - (1/3)*1/(2a-x)}
= (2/3)x^(2/3)*(1/x)*(2a-x)^(1/3) - (1/3)x^(2/3)(2a-x)^(1/3)*1/(2a-x)
= (2/3)x^(-1/3)*(2a-x)^(1/3) - (1/3)x^(2/3)(2a-x)^(-2/3)

あれ、質問者さんの出した
ｆ'（ｘ）＝-（2/9）ｘ（-1/3）（２ａ-ｘ）＾（-2/3）って、
ここを引き算じゃなく、
掛け合わせてしまってませんか？

回答No.2

asuncion

＞ｌｏｇをつかって解いているのですが、答えにたどり着けません。

与式の導関数を求める際、対数は不要です。

回答No.1

alice_44

f(x) = (x^(2/3))((2a-x)^(1/3))
であれば、
f'(x) = (2/3)(x^(-1/3))((2a-x)^(1/3)) +(x^(2/3))(-1/3)((2a-x)^(-2/3))
= (1/3)(x^(-1/3))((2a-x)^(-2/3))(4a-3x),

f''(x) = (1/3){ (-1/3)(x^(-4/3))((2a-x)^(-2/3))(4a-3x) + (x^(-1/3))(-2/3)((2a-x)^(-5/3))(4a-3x) + (x^(-1/3))((2a-x)^(-2/3))(-3) }
= (1/9)(x^(-4/3))((2a-x)^(-5/3))(8a^2)
となりますが、
一番重要なのは、貴方が何処を何故間違ったのかという点です。
もしかすると、解答例のほうが間違っているかも知れませんしね。
貴方の答えと途中式を、補足に書いてみてください。

補足

解答はｆ´(ｘ)＝（１/３）ｘ＾（1/3）（2ａ-ｘ）＾（-2/３）（４ａ-３）
ｆ’’（ｘ）＝－（8/9）ａ＾（２）ｘ（-4/3）（2ａ-ｘ）＾（-5/3）

です。
ｆ’（ｘ）＝-（2/9）ｘ（-1/3）（２ａ-ｘ）＾（-2/3）
が私がたどり着いたｆ’（ｘ）です。
ｌｏｇをつかって解いているのですが、答えにたどり着けません。