極大・極小

質問

解説を読んでいて、わからない所が３箇所あるので、教えてください。

＜問題＞
2変数関数f(x1,x2)について、f(x1,x2)が極大あるいは極小になる点を（複数個ある場合はすべて）求めるとともに、そのときの極大値と極小値を求めなさい。この際、2階の条件についても吟味しなさい。
f(x1,x2)=(x1)^3-(x2)^3-3x1+12x2 ((x1,x2)∈Ｒ^2)

＜解説＞
f(x1,x2)=(x1)^3-(x2)^3-3x1+12x2 ((x1,x2)∈Ｒ^2)より
f1(x1,x2)=3(x1)^2-3
f2(x1,x2)=-3(x2)^2+12
である
局所的最適化の必要条件より、fが極大または極小になる点の候補は、1階の条件f1(x1,x2)=f2(x1,x2)=0を満たす点である。
これを満たすのは
ア(x1,x2)=(1,2),(1-2),(-1,2),(-1,-2)である。
また、fが極大または極小になる点の候補は、それぞれ2階の条件（の一部）＜１＞f11(x1,x2)≦0かつf22(x1,x2)≦0、または＜２＞f11(x1,x2)≧0かつf22(x1,x2)≧0、を満たす点である。
いま、f11(x1,x2)=6x1,f22(x1,x2)=-6x2である。
よって、(x1,x2)=(1,2)(-1,-2)は、＜１＞と＜２＞のいずれも満たさないので
(x1,x2)=(1,2)(-1,-2)では極大にも極小にもならない。
いま、f12(x1,x2)=f21(x1,x2)=0である。
イまず、(x1,x2)=(1,-2)について考える。
f11(1,-2)=6>0,f22(1,-2)=12>0,

|f11(1,-2) f12(1,-2)|
|f21(1,-2) f22(1,-2)|=6*12-0*0=72>0

となる。よって局所的最適化の十分条件より
fは(x1,x2)=(1,-2)で極小になり、そのときの極小値はf(1,-2)=-18となる。
ウ次に(x1,x2)=(-1,2)について考える。
f11(-1,2)=-6<0,f22(-1,2)=-12<0,

|f11(-1,2) f12(-1,2)|
|f21(-1,2) f22(-1,2)|=(-6)*(-12)-0*0=72>0

となる。よって、局所的最適化の十分条件の定理より、
fは(x1,x2)=(-1,2)で極大になり、そのときの最大値はf(-1,2)=18となる。

＜わからない箇所＞
(1)
>ア(x1,x2)=(1,2),(1-2),(-1,2),(-1,-2)である。
この(1,2),(1-2),(-1,2),(-1,-2)の数字はどこから出てくるのでしょうか？

(2)
>イまず、(x1,x2)=(1,-2)について考える。
>ウ次に(x1,x2)=(-1,2)について考える。
こちらは何故(1,-2)と(-1,2)だけ考えるのでしょうか？これは
>(x1,x2)=(1,2)(-1,-2)は、(1)と(2)のいずれも満たさないので
>(x1,x2)=(1,2)(-1,-2)では極大にも極小にもならない。
なので、(1,2)や(-1,-2)は考えなくても良いのでしょうか？
満たしておれば、(1,2)や(-1,-2)も考えなくてはいけない、ということでしょうか？

(3)
解説とは脱線するのですが
問題の
>f(x1,x2)=(x1)^3-(x2)^3-3x1+12x2 ((x1,x2)∈Ｒ^2)
ここの部分が ((x1,x2)∈Ｒ^2)
仮に((x1,x2)∈Ｒ^2++)下にプラスが2か所つくと
意味や答えが違って来るのでしょうか？
この問題とは別に、プラスが2箇所ついているのがあり、どう違うのかがわかりませんでした。

長くなりましたが、わかる方、教えてください。
よろしくお願いします。

回答No.1

info22 · ベストアンサー

(1)
>>ア(x1,x2)=(1,2),(1-2),(-1,2),(-1,-2)である。
>この(1,2),(1-2),(-1,2),(-1,-2)の数字はどこから出てくるのでしょうか？

＞条件f1(x1,x2)=f2(x1,x2)=0
この２つの条件式からx1,x2の連立方程式ができます。
連立方程式を解けばアが出てきます。

(2)
＞fが極大または極小になる点の候補は、それぞれ2階の条件（の一部）＜１＞f11(x1,x2)≦0かつf22(x1,x2)≦0、または＜２＞f11(x1,x2)≧0かつf22(x1,x2)≧0、を満たす点である。
＞f11(x1,x2)=6x1,f22(x1,x2)=-6x2である。
これらのことから(x1,x2)が同符号であれば
f11とf22が異符号となって極大または極小になる点の候補となりえないため除外されるわけです。
(x1,x2)が異符号であればf11とf22は同符号になって
極大または極小になる点の候補となります。

したがって、(1,-2)と(-1,2)だけ考え,(1,2)や(-1,-2)は考えなくても良いのです。

(3)
＞仮に((x1,x2)∈Ｒ^2++)下にプラスが2か所つくと
＞意味や答えが違って来るのでしょうか？
小生には分かりません。

お礼

ありがとうございます。
(1)(2)についてやっと解決できました。
(3)はもしかしたら直接回答に影響をもたないのかもしれませんね。