急ぎでお願いします、微分の問題です

質問

閲覧ありがとうございます。

以下の問題の解答（解き方だけでもありがたいです）をお願いします。

関数　f(x)=x^3-27a^2x+16についてa＞0とする。
f(x)は x=<ア>a のとき極大値<イ>ａ^3+<ウ>、
　　　 x=<エ>a のとき極小値<オ>a^3+<カ>をとる。
したがって、方程式f(x)=0が異なる実数解を2個もつとき、
a=<キ>である。

以上です。

<>内の正答は

ア：-3　イ：54　ウ：16
エ：3　オ：-54　カ：16
キ：2/3

です。

解答よろしくお願いします。

回答No.2

drizzler-red · ベストアンサー

f(x)=x^3-27a^2x+16
f'(x)=3x^2-27a^2
f'(x)=0とすると
3x^2-27a^2=0
x^2-9a^2=0
(x-3a)(x+3a)=0
x=±3a
a＞0より
3a＞-3a
増減表を書いてみてください。
f(-3a)=54a^3+16
f(3a)=-54a^3+16
x=-3aのとき、極大値54a^3+16
x=3aのとき、極小値-54a^3+16

グラフを書いてみると、方程式f(x)=0が異なる実数解を2個もつということは、
極大値がx軸に接するか、極小値がx軸に接する場合。
つまり、
54a^3+16=0 か -54a^3+16=0
これらを解くと
a=-2/3 か a=2/3
a＞0より、a=-2/3は不適。
よって、 a=2/3

回答No.1

noname#181872

解けないから人に聞いているのは分かるけど、それでも教科書読んだ？
と聞きたくなります。

問題の式では関数にaが入ってきますが、aが入ってこない関数の場合、
極大値や極小値を求めるときってどうやって求めます？

またf(x)=0を満たす実数解が2個あるっていうのはグラフで考えると
どういう状況ですか？